 | 正の整数pごとに数列a(n,p)(n=1,2,・・・)
a(1,p)=1/p, a(n,p)={(Σ[k=1→n-1]a(k,p))+n}/p (n≧2)
一般項a(n,p)を求めよ。
自分の答えのnの範囲がただしく書けているか心配なので、見ていただきたいです。以下のようにやりました。
a(n,p)={(Σ[k=1→n-1]a(k,p))+n}/p (n≧2)・・・①
a(n-1,p)={(Σ[k=1→n-2]a(k,p))+n-1}/p (n≧3)・・・②
①-②より
a(n,p)-a(n-1,p)={a(n-1,p)+1}/p
∴a(n,p)+1=(p+1/p){a(n-1,p)+1} (n≧3)
∴a(n,p)+1={a(2,p)+1}(p+1/p)^(n-2)
①でn=1として、a(2,p)=(2p+1)/p^2
よって、
a(n,p)=[{(p+1)/p}^n]-1 (n≧3)
n=1,2のときもこれでよいので、
a(n,p)=[{(p+1)/p}^n]-1 (n≧1)
以上です。何か間違っていたら正しい解答を教えていただきたいです、よろしくお願いします。
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