 | (1)ベクトルの知識があれば
ベクトル(p,q)と(x,y)の内積は
(p,q)・(x,y)=px+qy=√(p^2+q^2)√(x^2+y^2)cosθ
θは２つのベクトルのなす角
0≦x^2+y^2≦1より、
px+qy≦√(p^2+q^2)
等号が成り立つのはx^2+y^2=1かつθ=0のとき、
つまりx=p/√(p^2+q^2)、y=q/√(p^2+q^2)のとき
(2)三角関数を使うなら、
x=rcosθ、y=rsinθとおくと、0≦r≦1、0≦θ≦π/2
px+qy=prcosθ+qrsinθ
=r√(p^2+q^2)cos(θ-α)≦√(p^2+q^2)
等号が成立するのはr=1かつα=θのとき、
つまり、x=cosθ=cosα=p/√(p^2+q^2)、y=q/√(p^2+q^2)
(3)式の変形のみで行くなら
(px+qy)^2+(qx-py)^2=(p^2+q^2)(x^2+y^2)
(px+qy)^2=(p^2+q^2)(x^2+y^2)- (qx-py)^2≦(p^2+q^2)
等号が成立するのは
x^2+y^2=1かつqx=pyのとき、
よって、px+qyの最大値は√(p^2+q^2)
そのとき、x=p/√(p^2+q^2)、y=q/√(p^2+q^2)
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