 | 私は余弦定理を覚えていないので三平方の定理でやります。
円の中心からBに近い方に、ABに平行な線分を円に交わるまで引き、円との交点を
C、OCから反時計回りにOPとの角をφとします。
AP^2=(cosφ+sinθ)^2+(sinφ+cosθ)^2=2+2sin(φ+θ)
BP^2=(cosφ-sinθ)^2+(sinφ+cosθ)^2=2+2sin(φ-θ)
相加相乗平均より、
AP^2+BP^2≧2AP*BP 等号成立はAP=BPのとき
一方
L^2=AP^2+BP^2=2+2sin(φ+θ)+2+2sin(φ-θ)=4+2(sin(φ+θ)+sin(φ-θ))
=4+4sin(φ)cos(θ)
よってφ=π/2のときAP^2+BP^2は最大値をとる。
このときAP=BPである。
∴max{AP*BP}={4+4sin(φ)cos(θ)}/2=2+2cosθ
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