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■19926 / inTopicNo.1)

　積分！

▼■

□投稿者/ taka 一般人(3回)-(2006/12/11(Mon) 01:54:50)

∫(1/(1+x~2))・(1/√(1+x~2))dxができません。どなたかお願いします。

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■19928 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分！

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□投稿者/ 白拓大御所(594回)-(2006/12/11(Mon) 02:38:01)

∫(1/(1+x^2))・(1/√(1+x^2))dx=∫{1/√(1+x^2)^3}dx (x=sinhtと置換)
=∫{1/cosh^2(t)}dt=tanh(t)+C=sinh(t)/√(1+sinh^2(t))+C=x/√(1+x^2)+C

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■19933 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 積分！

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□投稿者/ taka 一般人(4回)-(2006/12/11(Mon) 17:14:22)

なんとか理解できましたが、少し難しかったのでもう少し簡単な方法とかあればお願いします。

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■19939 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 積分！

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□投稿者/ 白拓大御所(596回)-(2006/12/12(Tue) 00:39:33)

3角関数の置換でやるなら、
x=tanθ　(-π/2<θ<π/2)
cosθ=|cosθ|
dx=dθ/cos^2(θ)
1+tan^2(θ)=1/cos^2(θ)

∫{1/√(x^2+1)^3}dx=∫|cosθ|dθ=∫cosθdθ
=sinθ+C=tanθcosθ+C=tanθ|cosθ|+C=tanθ/√(1+tan^2(θ))+C=x/√(x^2+1)+C //

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■19949 / inTopicNo.5)

　別解

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□投稿者/ 白拓大御所(607回)-(2006/12/12(Tue) 06:26:52)

t=√(x^2+1)+xと置換すると
dx=√(x^2+1)dt/t
1/t=√(x^2+1)-x
(t+1/t)/2=√(x^2+1)

∫{1/√(x^2+1)^3}dx=∫{1/(t{(t+1/t)/2}^2)}dt
=4∫{t/(t^2+1)^2}dt=-2/(t^2+1)+C'=-2/({√(x^2+1)+x}^2+1)+C'
=-1/{√(x^2+1)*( √(x^2+1)+x )}+C'=-{√(x^2+1)-x}/{√(x^2+1)}+C'
=x/√(x^2+1)-1+C'=x/√(x^2+1)+C //

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