数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 体積　の　問題 / Page: 0]

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■19910 / inTopicNo.1)

　体積　の　問題

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□投稿者/ らけしす一般人(1回)-(2006/12/10(Sun) 11:53:56)

半径1、高さ√2の円柱内に1辺が√2の正方形がある。
正方形の隣り合う2頂点が円柱の底面の円周上にあり、
かつ正方形は円柱内を自由に動くことができる。
正方形が動き得る通過領域の体積Ｖを求めよ。

この問題が分かりません。
お願いします。

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■19919 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 体積　の　問題

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□投稿者/ 白拓大御所(586回)-(2006/12/10(Sun) 22:02:28)

底面の中心から正方形の底面に含まれる辺までの線分と、
正方形の面のなす角をθとする。
　動くことができるθの範囲はπ/4≦θ≦π/2なので
V=π√2^2*√2*(π/4)/(2π)=√2π/4

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■19922 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 体積　の　問題

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□投稿者/ らすかる大御所(489回)-(2006/12/10(Sun) 23:12:33)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

＞白拓さん
それは正方形の底面に含まれる辺を固定した場合では？

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■19924 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 体積　の　問題

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□投稿者/ 白拓大御所(589回)-(2006/12/11(Mon) 01:27:16)

2006/12/11(Mon) 02:16:02 編集(投稿者)

あっ, ご指摘ありがとうございます。

円柱の底面からの高さをt、円柱の中心軸からの距離をrとすると、
通過領域の範囲は
(0≦t<1/√2)
1/√2-t≦r≦1
(1/√2≦t<√6/2)
0≦r≦1
(√6/2≦t≦√2)
1/√2-√(2-t^2)≦r≦1

V=1^2*π*√2-(1/3)*√2^2*π*(1/√2)-∫[√6/2～√2]π{1/√2-√(2-t^2)}^2dt
＝略=π{-14+9√3+2π}/(6√2)

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