 | この問題は，この手の問題でよく使われる因数定理が非常に使いにくいので，やりにくいですね．
因数定理の使いにくい問題では次の手が有効かと思います．
・f(x)をx^2+x+2で割ると3x+5あまる
⇒f(x)=(x^2+x+2)*g(x)+(3x+5)…①とおけます．
①のようにおいたf(x)に対して
・f(x)をx^2+3で割るとx+3あまる
⇒f(x)=(x^2+3)*g(x) +{(x-1)*g(x)+3x+5}のようにすると，(x^2+3)*g(x)の部分は(x^2+3)で割り切れるので，(x-1)*g(x)+3x+5をx^2+3で割るとx+3あまる
と考えられます．
さて，ここからg(x)の決定に入りましょう．①からして，f(x)の次数を最小にするには，g(x)の次数を最小にすればよいです．
i)g(x)が0次(定数) ⇒g(x)=aのとき
(x-1)*g(x)+3x+5=(3+a)x+(5-a) で，これをx^2+3で割ると，(商が0で)あまりが(3+a)x+(5-a)なので，
(3+a)x+(5-a)=x+3となればよいが，これを満たすaは存在しない．
ii)g(x)が1次 ⇒g(x)=ax+bのとき
(x-1)*g(x)+3x+5=(x-1)*(ax+b)+3x+5
=ax^2+(-a+b+3)x+(5-b)なので，これをx^2+3で割ると，(商がaで)あまりが(-a+b+3)x+(5-b-3a)なので
(-a+b+3)x+(5-b-3a)=x+3となればよい．
これは，-a+b+3=1と5-b-3a=3の連立方程式を解けば，a=1,b=-1と求まる．
よって，求めるf(x)のうち次数が最小のものは，①の形に対してg(x)=x-1のときの
f(x)=(x^2+x+2)(x-1)+3x+5=x^3+4x+3と求まる．
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