 | ■No1938に返信(Limitさんの記事)
> では書いておきます
>
> a_1=b_1=1,
> a_(n+1)=a_n+2b_n,
> b_(n+1)=a_n+b_n.
> です。
>
上の漸化式から
c_n=(a_n)^2-2(b_n)^2とおくと
c_(n+1) = -c_n ,c_1=-1
なので
c_n = (-1)^n
よって |c_n|=1
あるnのときのa_n,b_nの最大公約数をlとすると
a_n = kl
b_n = ml
（k,m,lは自然数）
と表される（a_n,b_nは漸化式の形とn=1のときの値から、明らかに自然数になるので）
よって
|c_n|=|(a_n)^2-2(b_n)^2|
=|k^2-2m^2|l^2
= 1
この結果から、l=1でなければならないので、a_nとb_nの最大公約数は1となります。
公約数より漸化式がこのような形にできる方がおもしろい問題ですね・・
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