 | うまいかどうかはわかりませんが、
f(x)=ax^3+3ax^2+bx+bが異なる３つの実数解を持つ
⇔ (f(x)の極大値)ｘ(f(x)の極小値)＜０
なので、これを使うといいと思います。
微分して、f'(x)=3ax^2+6ax+b より、f'(x)=0 が2実解をもつこと、つまり、(3a)^2-3ab>0 (⇔ a(3a-b)>0)が必要で、このとき、α,βを2次方程式 f'(x)=0 の2実解とすると、f(α)f(β)<0 であることが３実解をもつ条件になります。
これは、α、βに関する対称式ですから、αβ=b/(3a)、α+β=-3 で表現でき、その結果、a,b に関する条件がでてきます。
これとa(3a-b)>0を並べたものが求める条件になります。最後は、ab平面で答を図示してみると理解が深まると思います。
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