 | Q1.
ω=z-1+1/(z-2) ①
と解釈して解きます。
１．
z=x+iy(x,y:実数)
と置くと①は
ω=x+iy-1+1/(x+iy-2)=x+iy-1+(x-2-iy)/{(x-2)^2+y^2}
=x-1+(x-2)/{(x-2)^2+y^2}+iy{1-1/{(x-2)^2+y^2}}
ここでωは実数であるから
y{1-1/{(x-2)^2+y^2}}=0
これより
(x-2)^2+y^2=1又は{y=0かつ(x-2)^2+y^2≠0}
よって求める軌跡は
実数2に対応する点を中心とする半径1の円
と
実数2に対応する点を除く実軸
となります。
２．
ω=0ゆえ①より
z-1+1/(z-2)=0
これより
z^2-3z+3=0
∴z=(3±i√3)/2
∴α,βに対応する複素数をそれぞれ(3+i√3)/2,(3-i√3)/2とすることができるので
Oα=Oβ=√{(3/2)^2+(√3/2)^2}=√3
αβ=√{(3/2-3/2)^2+(√3/2-(-√3/2))^2}=√3
よって
Oα=Oβ=αβ
ゆえ△Oαβは正三角形
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