 | 了解です．
m=n+k(k:自然数)のとき
m^2-mn+n^2=(n+k)^2-(n+k)*n+n^2=n^2+nk+k^2，m+n=2n+kなので
与式=(m^2-mn+n^2)-(m+n)=n^2 +(k-2)n +k^2-k ={n+(-1+k/2)}^2 +3k^2/4 -1
のように平方完成します．2次不等式の証明は，まず平方完成ですね．
さて，{n+(-1+k/2)}^2を考えると，n-1+k/2≧k/2です．(等号はn=1)
よって，与式≧k^2/4 +3k^2/4 +2k -1 =k^2-1≧0(等号はk=1)
つまり，m^2-mn+n^2≧m+nで，等号はm=2,n=1です．(m=n+kだから)
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