 | ■No18598に返信(sunさんの記事)
> ①方程式e^x=3xはちょうど二つの実数解を持つことを示せ。
f(x)=e^x-3x とおくと、f'(x)=e^x-3 で f'(x)=0 のとき、x=log3
増減表よりf(x)のグラフは下に凸。f(log3)=3(1-log3)<0 から f(x)=0 の解は２つ。
> ②①の二つの解をc1、c2とする。曲線y=e^xとy=3xとで囲まれた部分の面積をc1、c2で表せ。c1<c2とする。また、c1+c2>2を示せ。
面積は
S=∫[c1→c2](3x-e^x)dx
= [3/2・x^2-e^x][c1→c2]
= 3/2・(c2^2-c1^2)-(e^c2-e^c1) ※
= 3/2・(c2^2-c1^2)-3(c2-c1)
= 3/2・(c2-c1)(c1+c2-2)
S>0 より、c1+c2-2>0 よって、c1+c2>2
※ e^x=3x より、e^c1=3c1、e^c2=3c2
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