 | ■No18586に返信(サリーさんの記事)
> 2つの放物線y=-x^2…① と y=-(x-1)^2+k…②
> 2つの放物線に接する共通接線と2つの放物線によって囲まれる図形の面積は、kの値にかかわらずつねに1／12であることを示せ。
①②共有点は、x=(1-k)/2 でこれを m とおく。
①上接点(s,-s^2)である接線は、y = -2s x + s^2 …③
②上接点(t,-(t-1)^2+k)である接線は、y = -2(t-1) x + t^2-1+k …④
③④は①②の共通接線より、-2s=-2(t-1)、s^2=t^2-1+k これより s=-k/2、t=(2-k)/2
共通接線と2つの放物線によって囲まれる図形の面積Sは
S =∫[s→m](③-①)dx + ∫[m→t](④-②)dx
= ∫[s→m](x-s)^2dx + ∫[m→t](x-t)^2dx
= [1/3・(x-s)^3][s→m] + [1/3・(x-t)^3][m→t]
= 1/3・(m-s)^3 - 1/3・(m-t)^3
ここで、m-s=1/2、m-t=-1/2 より
S = 1/12
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