 | 2006/10/29(Sun) 00:35:24 編集(投稿者)
>4.2乗して3+4iとなる複素数を求めよ。
求める複素数を z=r(cosθ+i sinθ) とおくと、z^2 = 3+4i より
r^2(cos2θ+i sin2θ)=5(cosα+i sinα) ただしcosα=3/5, sinα=4/5で0<α<π/2
よって、r^2=5、2θ=α+2π・n (n=0,1) で r=√5、θ=α/2+π・n (n=0,1)=α/2, α/2+π
すなわち z=√5(cosα/2+i sinα/2), √5{(cos(α/2+π)+i sin(α/2+π)}
ここで、cos^2 α/2=(1+cosα)/2=4/5 よってcosα/2=2/√5
sin^2 α/2=(1-cosα)/2=1/5 よってsinα/2=1/√5
よって、z=√5(2/√5+i 1/√5), √5(-2/√5-i 1/√5)=2+i, -2-i
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