数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: お願いします / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ2 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■18548 / inTopicNo.1)

　お願いします

□投稿者/ n 一般人(1回)-(2006/10/28(Sat) 01:06:29)

１個のサイコロを何度も投げ、n回目(n＝1,2,3・・・)に出た目が
1,2,3のどれかであれば　　X[ｎ]=1
4か5のどちらかであれば　X[n]=-1
6であれば　X[n]=0　　とする。
また、Y[n]=X[1]*X[2]*X[3]…*X[n]とおき、Y[n]が0となる確率をp[n],Y[n]が1となる確率をq[n]とする。n≧1のとき、q[n]とq[n+1]との間の漸化式を求めよ。
また、r[n]=6^n*q[n]とおき、r[n]をnで表せ。
また、∑[ｎ=1→∞]q[n]の値を求めよ。
お願いします！

引用返信/返信 [メール受信/ON] 削除キー/

■18558 / inTopicNo.2)

　Re[1]: お願いします

▲▼■

□投稿者/ X 一般人(9回)-(2006/10/28(Sat) 12:13:48)

2006/10/28(Sat) 12:38:35 編集(投稿者)

例えばX[n]=1である確率を
P[X[n]=1]
と書くことにします。

一問目)
>>q[n]とq[n+1]との間の漸化式を
を
q[n],q[n-1]とq[n+1]との間の漸化式を
のタイプミスと解釈して解きます。

条件よりY[n+1]=1であるためには
Y[n]=1かつX[n+1]=1
又は
Y[n-1]=1かつX[n]=X[n+1]=-1
∴
q[n+1]=q[n]P[X[n+1]=1]+q[n-1]P[X[n]=-1]P[X[n]=-1]
=(1/2)q[n]+(1/3)(1/3)q[n-1]
=(1/2)q[n]+(1/9)q[n-1]

二問目）
まず一問目の結果得られた漸化式を解いてq[n]を求めてみましょう。
一問目の結果より
q[n+1]+(1/6)q[n]=(2/3){q[n]+(1/6)q[n-1]}(但しn≧2)
q[n+1]+(1/6)q[n]=(2/3)^(n-1){q[2]+(1/6)q[1]}
ここでq[1]=1/2,q[2]=1/4+1/9=13/36
q[n+1]+(1/6)q[n]=(2/3)^(n-1){13/36+(1/6)(1/2)}
=(2/3)^(n+1)(但しn≧2)
これはn=1のときも成立します。
ここで
q[n](3/2)^n=t[n] (A)
と置くと
t[n+1]+(1/4)t[n]=1
t[1]=3/4
∴t[n]-4/5=(-1/4){t[n-1]-4/5}
=(3/4-4/5)(-1/4)^(n-1)
=(1/5)(-1/4)^n
(A)を代入すると
q[n](3/2)^n=(1/5)(-1/4)^n+4/5
∴q[n]=(1/5)(-1/6)^n+(4/5)(2/3)^n　(B)
よって
r[n]=(6^n)q[n]
=(1/5)・(-1)^n+(4/5)・4^n

三問目)
(B)より
∑[n=1～∞]q[n]
=∑[n=1～∞]{(1/5)(-1/6)^n+(4/5)(2/3)^n}
=∑[n=1～∞]{(-1/30)(-1/6)^(n-1)+(8/15)(2/3)^(n-1)}
=(-1/30)/{1-(-1/6)}+(8/15)/{1-(2/3)}
=-7/5+8/5
=1/5

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■18572 / inTopicNo.3)

　Re[1]: お願いします

▲▼■

□投稿者/ n 一般人(4回)-(2006/10/28(Sat) 22:24:59)

丁寧な解答ありがとうございます！

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター