 | a1=a,a2=b,a[n+2]=pa[n+1]+qa[n]+r ・・①
a1≠a2≠a3、かつ、a[n+3]=a[n] ・・②
②より、k=1,2,･･として、
a1=a4=a7=・・=a[3k-2]=a
a2=a5=a8=・・=a[3k-1]=b
①より、n=1とすると、
a3=pa2+qa1+r=pb+qa+r
よって、
a3=a6=a9=・・=a[3k]=pb+qa+r
n=3k-2のとき、①は
a[3k]=pa[3k-1]+qa[3k-2]+r
pb+qa+r=pb+qa+r
となり、これは常に成り立つ。
n=3k-1のとき、①は
a[3k+1]=pa[3k]+qa[3k-1]+r
a=p^2*b+pqa+pr+qb+r
a,bについて、整理すると、
a(pq-1)+b(p^2+q)+(pr+r)=0
どんなa,bでも成り立つには、
pq-1=0、かつ、p^2+q=0、かつ、r(p+1)=0・・③
n=3kのとき、①は
a[3k+2]=pa[3k+1]+qa[3k]+r
b=pa+pqb+q^2*a+qr+r
a,bについて、整理すると、
a(p+q^2)+b(pq-1)+(qr+r)=0
どんなa,bでも成り立つには、
p+q^2=0、かつ、pq-1=0、かつ、r(q+1)=0・・④
r(p+1)=0とr(q+1)=0から、
両辺引くと、
r(p-q)=0
r=0、または、p=q
ⅰ)ｒ＝０のとき
この条件だけでは、適か不適かは判定できない。
ⅱ)ｐ＝ｑのとき
pq-1=0から、p^2=1
p=±１
(ア)ｐ＝１のとき、ｑ＝１
このとき、p^2+q=0とp+q^2=0をみたさないので、不適
(イ)ｐ＝－１のとき、ｑ＝－１
③④のすべての条件を満たすので、適
③④にｐ＝－１、ｑ＝－１を代入すると、
０＝０となり、ｒはどんな実数でもよいことになる。
ゆえに、ｐ＝－１、ｑ＝－１、ｒは任意の実数
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