 | miyupさんと重なりますが、
必要、十分条件に関しては、まず繰り返して『日本語として』理解することが
大切だと思います。
A⇒B AならばBが成立する場合
たとえばA：私は人間である B：私は動物である
これは真の命題です。
私が動物であるためには、私が人間であれば十分である。
（人間であることが十分条件）
私が人間であるためには、まず、私が動物であることが必要である。
（動物であることが必要条件）
それでも、テストなどで上がってこんがらがったら、形式的には以下のように
覚える方法もあります。
地図で方向を示す 矢印の先はNです。 →N （普通は上向きですが）
Nは北の略ですが 必要だ（necessary）の頭文字になっています。
逆の南のSも 十分だ（sufficient）の頭文字にもなっています。
さて問題ですが、各条件がa,bの符号で見た場合の同値関係（必要十分条件）
を調べるのもひとつの方法です。
p：ab＞0 ←→ (a＞0 かつ b＞0) または (a＜0 かつ b＜0)
(a,b)を座標で考えれば軸を含まない第1、第3象限になります。
q：ある実数xに対して、ax+b>0が成り立つ
a=0であればb＞0となります。
a≠0であれば直線は傾き、どこかで正になるので
←→(a≠0) または (a=0 かつ b＞0)
座標で考えれば 含まれないのはy(b)軸の負の部分で、大部分が範囲に入ります。
r：ある実数xに対して、ax^2+b>0が成り立つ
a=0であればb＞0となります
a＞0であれば上に凸の放物線ですからどこかで正になります
a＜0であれば下に凸なのでb＞0となります
←→ (a＞0) または （a≦0 かつ b＞0）
座標で考えれば y(b)軸を含まない右半分と第2象限で原点を除くx(a)軸を含む
領域となります。
従って p→q q←r p,rは無関係 となります．
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