 | (1) xの取りうる値の範囲は，『三角形ABCが存在するためのxの範囲』を求めます．
三辺がa,b,cの三角形が存在するためには，まず，『三辺が全て正』つまり『a,b,c>0』であり，
『一つの辺<残りの辺の和』つまり『a<b+c，b<c+a，c<a+b』とならなければなりません．
(その理由は，ここでは割愛します．簡単な事なのですが…)
この問題では，まずx>0…①であり
・x<2x+3 (これは，①が成り立っていれば当たり前)
・2x<x+3 ⇔ x<3
・3<x+2x ⇔ 1<x
なので，1<x<3です．
で，最小角θがA,B,Cのどれなのかですが，これは，軽く図を描けば分かります．
AB=3,BC=2x,CA=xで1<x<3なので，CAが最も短い辺だと分かります．
そうなるように図を描けば，∠Bが最小角になっていることが分かると思います．
ちゃんとした説明は，少し煩雑なので，感覚的に『最も短い辺の対角が最小角』であると分かっておけば，それでいいと思います．
よって，∠B=θなので，余弦定理によりcosθ=(4x^2+9-x^2)/(2*2x*3)=(x^2+3)/4x．
(2)(i) 0°<θ<180°なので，『θが大きいほど，cosθは小さくなる』となります．
だから，cosθの最小値を求めればよいことになります．
cosθ=(x^2+3)/4x =(x/4)+(3/4x) の最小値を求め方ですが
ax+b/x (x>0)の形をした式の最小値は，必ず『相加・相乗平均』を用います．
cosθ≧2*√(x/4)*(3/4x) =(√3)/2．
よって，θの最大は30°で，このときのxは，『相加・相乗平均の等号を満たすx』なので，
x/4=3/4x ⇔x=√3と求まります．
(ii) 『面積公式』から△ABC=(1/2)*BC*AB*sinθ で求まります．
このとき，sinθ = √(-x^4+10x^2-9) /4x なので，△ABC=(3/4)*√(-x^4+10x^2-9) =(平方完成)=(3/4)*√{-(x^2-5)^2+16} となり
x=√5のときに，△ABCの最大値=(3/4)*√16=3となります．
(iii) 外接円の半径をRとすると，『正弦定理』から2R=x/sinθ =4x^2/√(-x^4+10x^2-9)=4/√(-1+10/x^2 -9/x^4) で，
y=1/xとすると，2R=4/√(-9y^4+10y^2-1)=(平方完成)=4/√{-9(y^2-5/9)^2 +(16/9)}
ここで，分母√{-9(y^2-5/9)^2 +(16/9)}の最大値は4/3なので，このとき，2R=4/√{…} は最小になり，
2R=4/(4/3)=3 ⇔R=3/2が最小値．
このとき，y=√5 /3なので，x=3/√5
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