数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: 数列、漸化式 / Page: 0]

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■18397 / inTopicNo.1)

　数列、漸化式

□投稿者/ digi 付き人(50回)-(2006/10/23(Mon) 01:22:19)

問題　数列 $2$\{x_n\}$ を $2$x_n=\alpha^n$ とするとき、
漸化式 $2$x_n=\beta x_{n-1}+x_{n-2}\ \ (|\beta|>2)$ ・・・(1)
を満たすように $2$\alpha(\alpha\neq0)$ を求めよ。
　これを利用して、 $2$x_1=1,x_2=0$ のとき、(1)式を満たす数列 $2${x_n}$ を求めよ。
　
　 $2$\alpha$ は、 $2$\alpha=\frac{\beta\pm \sqrt{\beta^2-4}}{2}$ だと思うのですが、『これを利用して』というのが良く分かりません。どなたかお願いします。

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■18428 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列、漸化式

▲▼■

□投稿者/ P(E) 一般人(1回)-(2006/10/23(Mon) 20:06:59)

In[1]:=
Solve[α^n == β*α^(n - 1) +
α^(n - 2), α]

Out[1]=
{{α -> 1/2*(β - Sqrt[4 + β^2])},
{α -> 1/2*(β + Sqrt[4 + β^2])}}

　　　　解空間Ker(E^2-β*E+I)の基
n--->(1/2*(β - Sqrt[4 + β^2]))^n
n--->(1/2*(β + Sqrt[4 + β^2]))^n

を求めたので(がコレを利用しての意です）　；

In[2]:=
c1*(1/2*(β - Sqrt[4 + β^2]))^n +
c2*(1/2*(β + Sqrt[4 + β^2]))^n

Out[2]=
(c1*(β - Sqrt[4 + β^2])^n)/2^n +
(c2*(β + Sqrt[4 + β^2])^n)/2^n

In[3]:=
c1*(1/2*(β - Sqrt[4 + β^2]))^n +
c2*(1/2*(β + Sqrt[4 + β^2]))^n /.
n -> 1

Out[3]=
1/2*c1*(β - Sqrt[4 + β^2]) +
1/2*c2*(β + Sqrt[4 + β^2])

In[4]:=
c1*(1/2*(β - Sqrt[4 + β^2]))^n +
c2*(1/2*(β + Sqrt[4 + β^2]))^n /.
n -> 2

Out[4]=
1/4*c1*(β - Sqrt[4 + β^2])^2 +
1/4*c2*(β + Sqrt[4 + β^2])^2

In[5]:=
FullSimplify[Solve[
{1/2*c1*(β - Sqrt[4 + β^2]) +
1/2*c2*(β + Sqrt[4 + β^2]) == 1,
1/4*c1*(β - Sqrt[4 + β^2])^2 +
1/4*c2*(β + Sqrt[4 + β^2])^2 ==
0}, {c1, c2}]]

Out[5]=
{{c1 -> -(β/2) - (2 + β^2)/
(2*Sqrt[4 + β^2]),
c2 -> 1/2*(-β + (2 + β^2)/
Sqrt[4 + β^2])}}

In[6]:=
c1*(1/2*(β - Sqrt[4 + β^2]))^n +
c2*(1/2*(β + Sqrt[4 + β^2]))^n /.
{c1 -> -(β/2) - (2 + β^2)/
(2*Sqrt[4 + β^2]),
c2 -> 1/2*(-β + (2 + β^2)/
Sqrt[4 + β^2])}

Out[6]=
((-(β/2) - (2 + β^2)/
(2*Sqrt[4 + β^2]))*
(β - Sqrt[4 + β^2])^n)/2^n +
2^(-1 - n)*(-β + (2 + β^2)/
Sqrt[4 + β^2])*
(β + Sqrt[4 + β^2])^n
が x[n]

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■18450 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数列、漸化式

▲▼■

□投稿者/ digi 付き人(51回)-(2006/10/24(Tue) 16:14:12)

よく分からないのですが、もっと簡単なとき方はないのでしょうか？

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■18479 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 数列、漸化式

▲▼■

□投稿者/ digi 付き人(52回)-(2006/10/25(Wed) 16:31:36)

『これを利用して』というのがよくわからないのですが。分かるかたはおられませんか？

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■18484 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 数列、漸化式

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(835回)-(2006/10/25(Wed) 18:57:58)

2006/10/25(Wed) 19:13:50 編集(投稿者)

■No18397に返信(digiさんの記事)
> 問題　数列 $2$\{x_n\}$ を $2$x_n=\alpha^n$ とするとき、
> 漸化式 $2$x_n=\beta x_{n-1}+x_{n-2}\ \ (|\beta|>2)$ ・・・(1)
> を満たすように $2$\alpha(\alpha\neq0)$ を求めよ。
> 　これを利用して、 $2$x_1=1,x_2=0$ のとき、(1)式を満たす数列 $2${x_n}$ を求めよ。
> 　
> 　 $2$\alpha$ は、 $2$\alpha=\frac{\beta\pm \sqrt{\beta^2-4}}{2}$ だと思うのですが、『これを利用して』というのが良く分かりません。どなたかお願いします。

もしかして漸化式は $2$x_n=\beta x_{n-1}-x_{n-2}$ …① ではないですか？

(1)に $2$x_n=\alpha^n$ を代入すると、 $2$\alpha^n=\beta\alpha^{n-1}-\alpha^{n-2}$
両辺 $2$\alpha^{n-2}$ で割って、 $2$\alpha^2-\beta\alpha+1=0$ …②　（②を①の特性方程式といいます）
よって、 $2$\alpha=\frac{\beta\pm \sqrt{\beta^2-4}}{2}$ で
$2$\alpha_1=\frac{\beta-\sqrt{\beta^2-4}}{2}$ 、 $2$\alpha_2=\frac{\beta+\sqrt{\beta^2-4}}{2}$ とおくと
①は次の２通りに変形できます。
$2$x_n-\alpha_1 x_{n-1}=\alpha_2(x_{n-1}-\alpha_1 x_{n-2})$ …③
$2$x_n-\alpha_2 x_{n-1}=\alpha_1(x_{n-1}-\alpha_2 x_{n-2})$ …④
③より $2$x_{n+1}-\alpha_1 x_n=-\alpha_1\cdot\alpha_2^{n-1}$ …⑤
④より $2$x_{n+1}-\alpha_2 x_n=-\alpha_2\cdot\alpha_1^{n-1}$ …⑥
⑤-⑥ $2$(\alpha_2-\alpha_1)x_n=\alpha_2\cdot\alpha_1^{n-1}-\alpha_1\cdot\alpha_2^{n-1}$
と続けることができます。

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■18485 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 数列、漸化式

▲▼■

□投稿者/ U.T 付き人(56回)-(2006/10/25(Wed) 19:04:27)

どちらにせよ|β|>2という条件を満たすことが出来ないと思うのですが･･･

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■18486 / inTopicNo.7)

　Re[3]: 数列、漸化式

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□投稿者/ miyup 大御所(836回)-(2006/10/25(Wed) 19:16:43)

■No18485に返信(U.Tさんの記事)
> どちらにせよ|β|>2という条件を満たすことが出来ないと思うのですが･･･
たぶん $2$\alpha=\frac{\beta\pm\sqrt{\beta^2-4}}{2}$ が異なる２実数解であることを保証しているのではないでしょうか。

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■18487 / inTopicNo.8)

　Re[4]: 数列、漸化式

▲▼■

□投稿者/ U.T 付き人(57回)-(2006/10/25(Wed) 19:28:19)

n=2の時を考えると
α^2=βα±1
x_0=α=1,x_1=α^2=0から
β=-,+1
となりますけど。

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■18490 / inTopicNo.9)

　Re[5]: 数列、漸化式

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(837回)-(2006/10/25(Wed) 19:39:40)

2006/10/25(Wed) 19:41:40 編集(投稿者)

■No18487に返信(U.Tさんの記事)
> n=2の時を考えると
> α^2=βα±1
> x_0=α=1,x_1=α^2=0から
> β=-,+1
> となりますけど。

これは推測ですが、「隣接３項間の漸化式」を解くときに使う「特性方程式」を作らせるために、
まず $2$x_n=\alpha^n$ と置かせたのではないでしょうか。
したがって、本題である「 $2$x_1=1,\;x_2=0$ のとき…」の $2$x_1$ は $2$x_n=\alpha^n$ の $2$x_1$ と関係がないと思われます。

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■18505 / inTopicNo.10)

　Re[6]: 数列、漸化式

▲▼■

□投稿者/ digi 付き人(53回)-(2006/10/26(Thu) 00:32:07)

2006/10/26(Thu) 01:31:10 編集(投稿者)
2006/10/26(Thu) 01:16:29 編集(投稿者)

> もしかして漸化式は $2$x_n=\beta x_{n-1}-x_{n-2}$ …① ではないですか？
　その通りです、申し訳ありません。
　
> $2$x_n-\alpha_1 x_{n-1}=\alpha_2(x_{n-1}-\alpha_1 x_{n-2})$ …③
> $2$x_n-\alpha_2 x_{n-1}=\alpha_1(x_{n-1}-\alpha_2 x_{n-2})$ …④
> ③より $2$x_{n+1}-\alpha_1 x_n=-\alpha_1\cdot\alpha_2^{n-1}$ …⑤
> ④より $2$x_{n+1}-\alpha_2 x_n=-\alpha_2\cdot\alpha_1^{n-1}$ …⑥
　③、④から⑤、⑥をどうやって導いたのでしょうか？

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■18510 / inTopicNo.11)

　Re[7]: 数列、漸化式

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□投稿者/ miyup 大御所(838回)-(2006/10/26(Thu) 15:52:57)

■No18505に返信(digiさんの記事)
$2$x_n-\alpha_1 x_{n-1}=\alpha_2(x_{n-1}-\alpha_1 x_{n-2})$ …③
nを２つ進めて
$2$x_{n+2}-\alpha_1 x_{n+1}=\alpha_2(x_{n+1}-\alpha_1 x_n)$
この式は、数列 $2$\{x_{n+1}-\alpha_1 x_n\}$ が公比 $2$\alpha_2$ 初項 $2$x_2-\alpha_1 x_1=-\alpha_1$ の等比数列を表すので
$2$x_{n+1}-\alpha_1 x_n=-\alpha_1\cdot\alpha_2^{n-1}$ …⑤

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■18511 / inTopicNo.12)

　Re[8]: 数列、漸化式

▲▼■

□投稿者/ digi 付き人(54回)-(2006/10/26(Thu) 16:52:07)

わかりました！ありがとうございます。

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