 | 宜しくお願い致します｡
『(X,T)を位相空間とする。
∃G1,G2∈T such that X=G1∪G2,G1∩G2=φ
の時、Xは非連結であるという』
と載ってましたので
『(X,T)を位相空間とする。
∀G1,G2∈T、X≠G1∪G2,G1∩G2=φ
の時、Xは連結であるという』
が連結の定義かと思います｡
よってこれからXの部分集合での連結の定義は
『(X,T)を位相空間とする。
φ≠A⊂Xにおいても位相空間がとれ、その位相をTaとすると
∀G1,G2∈Ta、A≠G1∪G2,G1∩G2=φ
の時、Aは連結であるという』
だと思います｡
間違ってましたらご指摘ください｡
また、Hausdorff空間の定義は
『位相空間Xとし、X∋∀x,y:distinctにおいて
X⊃∃Ux,Uy:近傍 such that x∈Ux,y∈Uy,Ux∩Uy=φ
の時、XはHausdorff空間をなす』
だと思います｡
Xを位相空間とし、φ≠A,B,C⊂X(但し、A⊂B⊂CでAはBの真部分集合でBはCの真部分集合)とする。
このとき、
「AとCが連結ならばBは連結になる」が偽。
と
「AとCがHausdorffならばBもHausdorffになる」が偽
を示したいのですが
それぞれの反例として何が挙げれますでしょうか?
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