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■18287 / inTopicNo.1) 　お願いします
  ▼■
□投稿者/ プル 一般人(1回)-(2006/10/19(Thu) 22:48:40)
    どうしても解けなくて困っています。

    ｋを実数の定数として
    ３次方程式
    　ｘ＾３−３ｘ＾２＋３ｋｘ−１＝０
    が２つの虚数解をもつとき
    （１）ｋのとり得る値の範囲は
    （２）上の方程式が、絶対値２の解を持つとき、ｋの値は
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■18312 / inTopicNo.2) 　Re[1]: お願いします
□投稿者/ 豆 一般人(16回)-(2006/10/21(Sat) 05:48:32)
    (1)
    f(x)=x^3-3x^2+3kx-1とおくと
    f'(x)=3(x^2-2x+k)=0の場合わけ
    (A)D/4=1-k＜0のとき，f(x)は単調増加で実根ひとつで適する
    (B)D/4=0のとき，f(x)=(x-1)^3で不適
    (C)D/4＞0のとき，f(x)は極大，極小をもつ
    極小値=f(1+√(1-k))＞0であれば，実根ひとつで適するが，
    f(x)= (x^2-2x+k)(x-1)+(k-1)(2x+1)より，
    f(1+√(1-k))=(k-1)(2√(1-k)+3)＜0なので不適
    従って，(A)の場合のk＞1

    (2)実根をα，虚根をβ，β~（共役）とする
    (A)α=2とすると　f(2)=8-12+6k-1=0
    　k=5/6となり不適
    (B)α=-2とすると　f(-2)=-8-12-6k-1=0
    　k=-21/6となり不適
    (C)α≠2となるので　|β|=2
    　根と係数の関係より　αββ~=4α=1
    　α=1/4
    　f(1/4)=1/64-3/16+3k/4-1=0
    ∴k=25/16
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■18340 / inTopicNo.3) 　Re[1]: お願いします
□投稿者/ G 一般人(1回)-(2006/10/21(Sat) 19:50:06)
    ■No18287に返信(プルさんの記事)
    > ｋを実数の定数として
    > ３次方程式
    > 　ｘ＾３−３ｘ＾２＋３ｋｘ−１＝０
    > が２つの虚数解をもつとき
    > （１）ｋのとり得る値の範囲は

    　　　　　　　　　　　別の視座から　　　；
    x^3 - 3*x^2 + 3*k*x - 1 = 0　を k　について解いて；

    k= -((-1 - 3*x^2 + x^3)/(3*x))

    x---g--->g(x)= -((-1 - 3*x^2 + x^3)/(3*x))
    　 のグラフ と y=-(5/4) , y=1
    　　　 のグラフ達を併記しました。

    　　　　　　　　視て　分類を再考してください。


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■18348 / inTopicNo.4) 　Re[1]: お願いします
□投稿者/ G 一般人(2回)-(2006/10/21(Sat) 22:54:11)
    ２つの虚数解をもつとき
    > （２）上の方程式が、絶対値２の解を持つとき、ｋの値は

    　（２）　　別の面から補強して、いっそう確かなものに ;

    In[1]:=
    eqn = -1 + 3*k*z - 3*z^2 + z^3;
    {re, im} = ComplexExpand[
    Through[{Re, Im}[Expand[
    eqn /. z -> x + I*y]]]]

    Out[2]=
    {-1 + 3*k*x - 3*x^2 + x^3 + 3*y^2 -
    3*x*y^2, 3*k*y - 6*x*y + 3*x^2*y - y^3}

    In[4]:=
    Solve[{-1 + 3*k*x - 3*x^2 + x^3 + 3*y^2 -
    3*x*y^2 == 0, 3*k*y - 6*x*y +
    3*x^2*y - y^3 == 0, x^2 + y^2 == 2^2},
    {x, y, k}]

    Out[4]=
    {{k -> -(7/2), y -> 0, x -> -2},
    {k -> 5/6, y -> 0, x -> 2},
    {k -> 25/16, y -> -((3*Sqrt[15])/8),
    x -> 11/8}, {k -> 25/16,
    y -> (3*Sqrt[15])/8, x -> 11/8}}

    　で　 　k=25/16,
    11/8+(3*Sqrt[15])/8,11/8-(3*Sqrt[15])/8
    　　　　　　　が共役な解

    　　　　　で　図示の通りAbsは２


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