 | 次のような性質はご存知ですか?
「一直線上にない３点Ａ、Ｂ、Ｃの位置ベクトルをa↑,b↑,c↑とすると、この３点で作る平面上の任意の点Ｐはその位置ベクトルをp↑とすると
p↑=s*a↑+t*b↑+u*c↑ (s+t+u=1) で表す事ができる」
この性質を利用します。
OE↑=k*OA↑ ･････(ⅰ) とするとＥはL,M,Nで作る平面上の点だから
ｋ＊OA↑=s*OL↑+t*OM↑+u*ON↑ (s+t+u=1) ･････(ⅱ) と表される。
ここで L,M,Nの点の作り方より
OL↑=(2OA↑+OB↑)/3 OM↑=(OA↑+2OC↑)/3 ON↑=(OB↑+OC↑)/3
これを(ⅱ)に代入して係数を比較
3k=s+t 2s+u=0 2t+u=0 及び s+t+u=1
これからkが出ます。s=2,t=1,u=-2,k=5/3 よって OE/OA=5/3
F,Gについても同様の計算をすれば OF/OB=5/9, OG/OC=5/6
計算は確認しておいて下さいね。
（２）まず、OABCとOEBCの体積の比を求めてみます。
底面をOBCにみれば底面共通なのであとは高さの比がそのまま体積の比になります。OA:OE=3:5ですから OEBC=(5/3)*OABC
次にOEBCとOEFGの体積比を考えます。やはりOBCを底面と考えれば今度は高さが同じで底面が△OBCと△OFGになっています。体積比は△OBCと△OFGの面積比となりますので(1)で出た比を利用して
△OFG=(OF/OB)*(OG/OC)*△OBC
=(5/9)*(5/6)*△OBC
=(25/54)*△OBC これがそのままOEBCとOEFGの体積比です。
以上より OEFG=(25/54)*OEBC=(25/54)*(5/3)*OABC=(125/162)*OABC
（３）同様にして四面体AELMの体積がOABCに対する比で表されますので
OEFGからAELMを引けば片側の立体の体積が?？*OABCの形で表されます。
変な値になったので計算はあまり自信がありません、自分で確認しておいて下さい。
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