 | ■No18241に返信(fumiさんの記事)
> F(a)=∫［-π→π］(e^ax・sinx)dxとする。
> 関数F(a)が奇関数であることを証明せよ。
I =∫(e^ax・sinx)dx とおくと
I = 1/a・e^ax・sinx -1/a・∫(e^ax・cosx)dx…①
∫(e^ax・cosx)dx = 1/a・e^ax・cosx +1/a・∫(e^ax・sinx)dx = 1/a・e^ax・cosx +1/a・I …②
②を①に代入 I = 1/a・e^ax・sinx - 1/a・(1/a・e^ax・cosx +1/a・I)
これを整理して、I = 1/(a^2+1)・e^ax・(a sinx-cosx)
よって、F(a) = [1/(a^2+1)・e^ax・(a sinx-cosx)][-π→π] = (e^πa - e^-πa)/(a^2+1)
ここで、-F(-a)=-(e^-πa - e^πa)/(a^2+1) = F(a) より、F(a)は奇関数である。
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