 | ■No18227に返信(やまともさんの記事)
> 座標空間に2点O(0,0,0),A(1,2,2)と球面K：x^2+y^2+(z-3)^2=1があり
> 点Pは球面K上を動く。
> (１)Kの中心Cから直線OAへおろした垂線CHの長さを求めよ。
> (２)⊿OAPの面積の最大値を求めよ。
> (３)内積OP↑・OA↑の最大値とそのときのPの座標を求めよ。
> 点と直線の距離の公式を使うのでしょうか？
> よろしくお願いします。
点と直線(または平面？)の距離の式を使わなくてもいいですね。
(1) 直線OA上の点Hは ( t,2t,2t ) とおけます。
三平方の定理より OH^2+CH^2=OC^2 これを利用
(2)△OAPの面積はOAが固定値だからOAを底辺と見たときの高さが最大のとき最大値をとります。(1)で求めたHを利用して 直線HCと球の２つの交点のうちHから遠い方の交点で最大です。その点をQとおくとHQが△OAPの高さです。
球の半径が1だから HQ=HC+1
(3) OA↑、OP↑のなす角をθとすると
OP↑・OA↑=|OP↑|*|OA↑|*cosθ
|OA↑|は固定ですから|OP↑|*cosθが最大のときを考えればよいですね。
この|OP↑|*cosθは何かというと直線OA上に点Pから下ろした垂線のと原点との距離でこれが最大になるのは球の中心からOAに平行に直線を引きそれが球と交わる点の原点から遠いほうです。ですから求める点Pはkを変数として
OP↑=OC↑+k*OA↑ とかけます。これと球との交点が求めるP
なるべく計算をしないような方法をとりましたがわかりにくいですか？
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