数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 線形代数学2 / Page: 0]

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■18166 / inTopicNo.1)

　線形代数学2

□投稿者/ りり一般人(2回)-(2006/10/16(Mon) 09:30:32)

Vは三次元空間とする。
(a)U1＝{(x,y,z)|x+y+z=0}う2={(x,y,z)|x+y-z=0}とする。U1,U2はVの部分空間であることを示せ。
(b)U3=U1∩U2を求め、Vの部分空間であることを示せ。
(c)U1,U2,U3の基底を一組求めよ。
どれかひとつでもわかる方は教えてください。

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■18169 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 線形代数学2

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□投稿者/ サボテン一般人(5回)-(2006/10/16(Mon) 10:46:41)

(1)だけですが、x+y+z=0を満たすベクトルをv1,v2とすると、v1+v2のx,y,z要素
もたして0になります。またaを適当な定数として、av1のx,y,z要素も足して0になります。線形和とスカラー倍で閉じているので、U1の部分ベクトル空間になります。
U2も同様です。

あとは同様にして、解けるのではないでしょうか。

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■18181 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 線形代数学2

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□投稿者/ りり一般人(3回)-(2006/10/16(Mon) 18:34:57)

もう少し説明を加えてもらえますか？
何で０になるのかわかりません。
例とかあれば教えてください。
解答していただいてありがとうございます。

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■18183 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 線形代数学2

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□投稿者/ U.T 一般人(40回)-(2006/10/16(Mon) 18:47:53)

とりあえず
(a)v1,v2∈U1とする。v1=(x1,y1,z1),v2=(x2,y2,z2)と書けば
λv1+μv2=(λx1+μx2,λy1+μy2,λz1+μz2)
(λx1+μx2)+(λy1+μy2)+(λz1+μz2)=λ(x1+y1+z1)+μ(x2+y2+z2)
=λ*0+μ*0=0
ゆえにλv1+μv2∈U1
よってU1はVの部分空間である。
U2も同様にしてやれば良いので省略します。

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■18184 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 線形代数学2

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□投稿者/ りり一般人(4回)-(2006/10/16(Mon) 18:54:48)

とてもわかりやすいです＾＾
ありがとうございます。
これは、和とスカラー倍を一緒に求めて証明しているんですよね？？
あとできれば（ｂ）も教えていただきたいです。

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■18185 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 線形代数学2

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□投稿者/ U.T 一般人(41回)-(2006/10/16(Mon) 18:58:36)

(b)x+y-z=0…①,x+y+z=0…②とする。
①+②:2(x+y)=0
x+y=0
①-②:z=0
よってU3={(x,y,0)|x+y=0}
(a)と同様にu1,u2∈U3,u1=(x'1,y'1,0),u2=(x'2,y'2,0)として
λu1+μu2∈U3を示しましょう。

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■18186 / inTopicNo.7)

　Re[2]: 線形代数学2

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□投稿者/ りり一般人(5回)-(2006/10/16(Mon) 19:05:58)

すぐ解答してくださってありがとうございます。
もしよろしければ、線形代数学１もやっていただきたいです！

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■18187 / inTopicNo.8)

　Re[3]: 線形代数学2

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□投稿者/ U.T 一般人(42回)-(2006/10/16(Mon) 19:14:46)

> これは、和とスカラー倍を一緒に求めて証明しているんですよね？？
その通りです。和とスカラー倍を
v1+v2∈U1,λv1∈U1
それぞれ別々に求めてももちろんOKです。

(c)x+y+z=0からz=-x-y
α∈U1とすると
α=(x,y,z)=(x,y,-x-y)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)
となるのでU1の基底は(1,0,-1),(0,1,-1)
同様に
β∈U2,β=x(1,0,1)+y(0,1,1)
からU2の基底は(1,0,1),(0,1,1)
γ∈U3,γ=x(1,-1,0)
からU3の基底は(1,-1,0)
となります。

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■18193 / inTopicNo.9)

　Re[4]: 線形代数学2

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□投稿者/ りり一般人(7回)-(2006/10/16(Mon) 21:20:50)

（a）のU2はこれであってますか？

V3,V4∈U2とする。
V3=(X3,Y3,Z3) 　V4=(X4,Y4,Z4)とする。
X3+Y3-Z3=0　X4+Y4-Z4=0
よって、(X3+X4)+(Y3+Y4)-(Z3+Z4)=0
したがって、（X3,Y3,Z3)＋（X4,Y4,Z4)＝（X3+X4,Y3+Y4,Z3+Z4)もU2の元である。
kを実数とする。
k(X3+Y3-Z3)=kX3+kY3+kZ3=0
よって（ｋX3,kY3,kZ3)もU2の元である。
したがってU2はVの部分空間。

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■18195 / inTopicNo.10)

　Re[5]: 線形代数学2

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□投稿者/ U.T 一般人(45回)-(2006/10/16(Mon) 22:56:11)

大丈夫だと思います。
ただ個人的には
> （X3,Y3,Z3)＋（X4,Y4,Z4)＝（X3+X4,Y3+Y4,Z3+Z4)もU2の元である。
を、V3,V4はU2の元である。
> よって（ｋX3,kY3,kZ3)もU2の元である。
を、kV3もU2の元である。
のように何を言いたいのかはっきり書いた方が良いと思いますよ。
そうなる理由のところは上の式で全く問題ないですね。

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