 | ■No18155に返信(hideさんの記事)
> 鋭角三角形ABCの外心をO､直線BOと外接円の交点のうち､Bと異なる点をD､垂心H
> 直線AHと直線BCとの交点をE､四角形ABCDは平行四辺形
> △ABCにおいて ∠A=45゜∠B=75゜ 外接円の半径が2
> また､直線AHと外接円の交点のうち､ Aと異なる点をF
> このとき､AH=？ CH=？∠CBF=？゜ ∠CHE=？BE=？EF=？を教えてください！
30°60°15°75°45°があちこちに出てきますね。
正弦定理より CA=2RsinB=4sin75°
△CAEは∠E=90°∠A=30°∠c=60°の直角三角形でCE=(1/2)CA=2sin75°
CHの延長とABの交点をGとすると
△AGCは∠A=45°∠G=90°∠C=45°の直角二等辺三角形でAG=(√2/2)CA=2√2sin75°
△AGHは∠A=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°∠G=90°∠H=75°の直角三角形でAH=AG/sin75°=2√2
△AHCで∠A=30°∠H=105°と正弦定理より CA/sin105°=CH/sin30°
よって CH=(CA/sin105°)*sin30°=(CA/sin75°)*sin30°
=(4sin75°/sin75°)*sin30°=2
∠CBFは弦CFに対する円周角で ∠CBF=∠CAF=45°-15°=30°
∠CHEは∠AHGの対頂角だから ∠CHE=∠AHG=75°
△ABEは∠A=15° ∠B=75° ∠E=90°の直角三角形で BE=ABcos75°=2√3cos75°
△CEFは∠C=15°∠E=90°∠F=75°の直角三角形で
EF=tan75°/CE=tan75°/2sin75°=1/2cos75°
ここで cos75°の求め方はいいですか？
ⅰ.30°60°90°の直角三角形の30°の角の二等分線を利用
ⅱ.加法定理 cos75°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°-sin30°sin45°
より求められます。
平行四辺形の条件使わなかったですね。もっと簡単に求まるのかもしれませんが、とりあえず。
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