 | ■No18148に返信(Leiさんの記事)
> ｘの方程式cos２ｘ＋２ksinｘ＋k−４＝０(０≦ｘ≦π)の異なる解の個数が２つであるためのkの満たす条件を求めよ。 です。よろしくおねがいします。
ニューアクションα p145 PERFECT MASTER 3 からの問題ですね。今日どこかで見たような・・・・・
cos２ｘ＋２ksinｘ＋k−４＝０ {1-2(sinx)^2}+2ksinx+k-4=0
2(sinx)^2-2ksinx-k+3=0
sinx=t、左辺をf(t)とおいてf(t)=0の実数解の個数を考えるわけですが
０≦ｘ≦π より ０≦t≦1で単位円の上半分のy座標がtの値ですね。
この単位円で0≦t<1 のときは一つのtに対して2つのxが対応します。(単位円を横に切ったと考えれば交点は２つ)
t=1のとき、つまりx=π/2のときはtが他に解を持ってしまうとx=π/2と併せて異なる解が3つとなるので不可。
ですから問題はf(t)=0が0≦t<1の間に一つの解を持つ(重解を含む）kの条件と考えればよいでしょう。
重解のとき → 出てきたkについて重解tが確かに0≦t<1を満たしているかの確認
重解ではなく0≦t<1の間に一つの解を持つ →f(0)=0はOK あとはf(0)*f(1)<0
を計算すればよいでしょう。
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