数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 陰関数定理 / Page: 0]

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■18079 / inTopicNo.1)

　陰関数定理

□投稿者/ digi 一般人(42回)-(2006/10/14(Sat) 00:32:14)

$2$x^2+y^2-1=0$ ・・・(1)
について、dy/dxを求めよという問題なのですが、この場合陰関数定理？を使えばいいのですよね。f(x,y)=x^2+y^2-1とおくと、
　 $2$\frac{dy}{dx}=-\frac{f_x}{f_y}=-\frac{x}{y}$
となりますよね。陰関数定理を使うときは、xとyは独立変数ですか？
(1)式を見ると、xが定まればyも定まるのでyはxの従属変数ではないでしょうか？
(1)式の両辺をxについて微分すれば、
$2$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$
$2$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$
となって、陰関数定理を使用したときと同じ答えになりますが、偶然でしょうか。

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■18081 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 陰関数定理

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(803回)-(2006/10/14(Sat) 00:55:10)

2006/10/14(Sat) 00:57:42 編集(投稿者)

■No18079に返信(digiさんの記事)
> $2$x^2+y^2-1=0$ ・・・(1)
> について、dy/dxを求めよという問題なのですが、この場合陰関数定理？を使えばいいのですよね。f(x,y)=x^2+y^2-1とおくと、
> 　 $2$\frac{dy}{dx}=-\frac{f_x}{f_y}=-\frac{x}{y}$
> となりますよね。陰関数定理を使うときは、xとyは独立変数ですか？
> (1)式を見ると、xが定まればyも定まるのでyはxの従属変数ではないでしょうか？
偏微分なので、f_x のときは x以外は定数扱いです。
> (1)式の両辺をxについて微分すれば、
> $2$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$
> $2$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$
> となって、陰関数定理を使用したときと同じ答えになりますが、偶然でしょうか。
どちらも dy/dx を求めるものですから、当然同じになります。

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■18092 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 陰関数定理

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□投稿者/ 青海付き人(70回)-(2006/10/14(Sat) 13:31:47)

■No18079に返信(digiさんの記事)
> $2$x^2+y^2-1=0$ ・・・(1)
> について、dy/dxを求めよという問題なのですが、この場合陰関数定理？を使えばいいのですよね。f(x,y)=x^2+y^2-1とおくと、
> 　 $2$\frac{dy}{dx}=-\frac{f_x}{f_y}=-\frac{x}{y}$
> となりますよね。陰関数定理を使うときは、xとyは独立変数ですか？
> (1)式を見ると、xが定まればyも定まるのでyはxの従属変数ではないでしょうか？

独立というのは、f(x, y) に対してです。

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■18115 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 陰関数定理

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□投稿者/ digi 一般人(43回)-(2006/10/15(Sun) 00:18:07)

では、xとyの関係はどうなのでしょう？従属関係にあるわけですか？

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■18119 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 陰関数定理

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□投稿者/ 青海付き人(72回)-(2006/10/15(Sun) 01:20:27)

2006/10/15(Sun) 01:40:11 編集(投稿者)

■No18115に返信(digiさんの記事)
> では、xとyの関係はどうなのでしょう？従属関係にあるわけですか？

もちろんそうです。
独立の条件がついてるのは、f(x, y) = x + y = x + g(x) だったらダメだよって意味です。
この問題の場合、これ以上の意味を持たないので、使い方が分かれば十分だと思います。
それ以上のことは、大学で詳しく教えてくれると思います。

う～ん、誤解しそうなのでもう少し、
$2$x^2 + y^2 - 1 = 0$ が、 $2$x^2 + g(x)^2 - 1 = 0$ だったら、x が一意に決まってしまうので、変化率(dy/dx)は求まらないという意味です。

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