 | 方針をとりあえず書きます。
Bの周の長さが最小となる時はA,A'が一致するとき。
（一致しているところから少しでもずらすと長さは明らかに長くなります。）
Bの面積が最小となる時はきれいに交差？（正三角形の時は星の形のようになる時）。これも図を書いてみると明らか。
そうしたらL=nは自明。
次に面積が最小となる時の図で交差する一辺の部分を書いて小さい三角形の面積を求める。
図が書けないと厳しいので一応計算式だけ書いときます。
角度はφ=π/(2n),斜辺の長さをrとすると一辺の長さが１から
2r(sinφ+tanφ)=1
三角形の面積sは1/2*rsinφ*r/cosφ
S=4n*s
S/(nL)をlim[θ→0]sinθ/θ=1を使ってまとめると
lim[n→∞]S/(nL)=1/π
になるかと思います。（計算ミスしてる可能性がありますが…）
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