 | ■No17816に返信(ゆみ 高２さんの記事)
> （１）θに関する方程式４cos^2θ＋３ａcosθ－ａ＾２＝０が０≦θ＜２πで解を３個もつための定数ａの条件を求めよ。
t=cosθについて、t の取る値の範囲は -1≦t≦1 で、t=-1,1 のときθの値は１つ。-1＜t＜1 のときθの値は２つ。
また方程式は 4t^2+3at-a^2=0…①。
解θを３個もつためには、①の解の１つが t=1 または t=-1 であることが必要。
i) t=1 のとき、①に代入 4+3a-a^2=0 よって a=-1,4
a=-1 のとき①は、4t^2-3t-1=0 よって t=1,-1/4 で、対応するθは３つある。
a=4 のとき①は、4t^2+12t-16=0 よって t=1 で、対応するθは１つしかない。
ii) t=-1 のとき、①に代入 4-3a-a^2=0 よって a=1,-4
a=1 のとき①は、4t^2+3t-1=0 よって t=-1,1/4 で、対応するθは３つある。
a=-4 のとき①は、4t^2-12t-16=0 よって t=-1 で、対応するθは１つしかない。
以上より、解を３個もつための定数ａの条件は、a=±1。
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