 | ■No17793に返信(ハルさんの記事)
> 極限の問題
> ②a,bを実数とするとき、以下を示せ。
> lim(n→∞)log(e^na + e^nb)/n=max(a,b)
max(a,b)=a のとき，e^(na)+e^(nb)=e^(na)(1+e^(n(b-a))) と変形すると，
b-a≦0 より 1≦1+e^(n(b-a))≦2.
よって 0≦log(1+e^(n(b-a)))/n≦2/n.
はさみうちの原理より lim[n→∞]log(1+e^(n(b-a)))/n=0.
{log(e^na + e^nb)}/n=loge^(na)+log(1+e^(n(b-a)))/n=a+log(1+e^(n(b-a)))/n
なので，
lim[n→∞]log(e^na + e^nb)/n=a=max(a,b).
b=max(a,b) のときは，上の議論で a と b をすべて入れ替えた議論が成り立つので，やはり lim[n→∞]log(e^na + e^nb)/n=b=max(a,b) が成り立ちます。
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