数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 数の理論 / Page: 0]

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■17717 / inTopicNo.1)

　数の理論

□投稿者/ satsuma 一般人(46回)-(2006/10/01(Sun) 17:44:07)

座標平面上に２点A(p,q),B(r,s)をとり、原点をOとする。△OABが正三角形となるとき、p,q,r,sのうち少なくとも一つは有理数とならないことを証明せよ。

という問題なのですが、ヒントによりますと、「三角形の面積を二通りで求めて矛盾を言う」とあったのですが、まず、この考え方に至った理由がわかりません。（背理法で示すのだということはわかりました。）
また、面積を二通りでといわれても、公式|ad-bc|/2を使うか、absinα/2を使うかしか思いつきませんが、どちらも、結局は同じ式なので二通りで求められませんでした。
ほかに方法があればそれでもよいのですが、
もしよろしければ教えていただけないでしょうか。よろしくおねがいいたします。

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■17723 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数の理論

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□投稿者/ らすかる大御所(448回)-(2006/10/01(Sun) 21:05:03)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

p,q,r,sが有理数ならば、公式|ad-bc|/2で計算すると面積は有理数になりますね。
一方、正三角形の面積は１辺の長さがtのとき(√3/4)t^2 ですが、
p,q,r,sが有理数ならばt^2=p^2+q^2によりt^2は有理数、したがって
(√3/4)t^2は無理数になり、矛盾しますね。

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■17726 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数の理論

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□投稿者/ satsuma 一般人(47回)-(2006/10/01(Sun) 23:59:12)

そうか。。そういわれてみればそうですね。。
全然気づきませんでした。
聞けばなんだそんなことかというようなもんだいでも、
出くわすと解けなかったりする問題も間々あるので、勉強不足すぎます。
（もうセンターまで４ヶ月切ってるっていうのに。。汗）

どうもありがとうございました。

解決済み!

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