 | ■No17674に返信(yamadaさんの記事)
> 次の条件で定められた数列｛a}を考える
> ａ1＝１、ａｎ+1＝（ａ1+ａ2+・・・+ａｎ）、（ｎ＝１，２，３）
> 一般項ａnをｎの式で表せ。また一般項が正しいことを数学的帰納法を用いて示せ。
n≧2 に対し，a[n]=a[1]+a[2]+...+a[n-1] より，a[n+1]=2a[n] なので，
n≧2 において a[n] は初項 a[2]=a[1]=1，公比 2 の等比数列になると考えられます。
よって a[1]=1，n≧2 において a[n]=2^(n-2) と予想できます。
a[2]=1=2^0 で n=2 のときには成立しているので，2 以上のある自然数 k について a[k]=2^(k-2) が成立していると仮定します。
すると a[k+1]=2a[k]=2^(k-1)=2^{(k+1)-2} なので，n=k+1 のときにも予想の式が正しいことがわかります。これで数学的帰納法により n≧2 に対し a[n]=2^(n-2) であることが示されました。
なお，a[n+1]=2a[n] に気付かなかったら，2≦m≦k をみたすすべての自然数 m に対し，a[m]=2^(m-2) と書けることを仮定し，等比数列の和の公式を用いて a[k+1]=2^{(k+1)-2} を示すことになるでしょう。
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