数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 2次関数の最小 / Page: 0]

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■17541 / inTopicNo.1)

　2次関数の最小

□投稿者/ YUUKI 一般人(1回)-(2006/09/22(Fri) 22:54:50)

「区間に文字を含む2次関数のの最小」についての問題なのですが、回答を見ても理解不能でした。分かりやすい解説をぜひぜひお願いします。
問題
2次関数y=x^2-2xのa≦x≦a+1における最小値をbとすると、bはaの関数となる。この関数を求め、そのグラフを書け。

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■17542 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 2次関数の最小

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□投稿者/ miyup 大御所(768回)-(2006/09/22(Fri) 23:34:36)

2006/09/23(Sat) 00:25:31 編集(投稿者)
2006/09/23(Sat) 00:24:26 編集(投稿者)

■No17541に返信(YUUKIさんの記事)
> 問題
> 2次関数y=x^2-2xのa≦x≦a+1における最小値をbとすると、bはaの関数となる。この関数を求め、そのグラフを書け。

y=(x-1)^2-1 の軸 x=1 と区間a≦x≦a+1 の左端 a 、右端 a+1 の位置関係で場合分けをする( 1, a, a+1 の大小関係)。
i) a+1 < 1 のとき、図のB端で最小。すなわち最小値は x=a+1 を代入して y = (a+1-1)^2-1 = a^2-1 [=b]

841×841 => 250×250

1.png/82KB

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■17543 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 2次関数の最小

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□投稿者/ miyup 大御所(769回)-(2006/09/22(Fri) 23:36:32)

2006/09/23(Sat) 00:25:53 編集(投稿者)

ii) a ≦ 1 ≦ a+1 のとき、放物線の頂点で最小。すなわち最小値は x=1 を代入して y = -1 [=b]。

841×841 => 250×250

2.png/75KB

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■17544 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 2次関数の最小

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□投稿者/ miyup 大御所(770回)-(2006/09/22(Fri) 23:38:16)

2006/09/23(Sat) 00:26:09 編集(投稿者)
2006/09/23(Sat) 00:25:03 編集(投稿者)

iii) 1 < a のとき、図のA端で最小。すなわち最小値は x=a を代入して y = (a-1)^2-1 [=b]

841×841 => 250×250

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■17545 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 2次関数の最小

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□投稿者/ Centermoon 一般人(1回)-(2006/09/22(Fri) 23:38:59)

白い紙に幅１の長方形の窓を作ってこれをｙ軸に平行に移動していき、そのときy=x^2-2xが窓の中でどう見えるかで場合分けしていきます。窓の左側がa、右側がa+1となるx座標と思ってください。
y=x^2-2x=(x-1)^2-1ですから頂点は(1,-1)
最小値を考える場合、この頂点が窓の中にあるかどうかで３つの場合分けとなります。
値を代入する都合上　y=f(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1　とおきます。
(ⅰ)　a+1<1　つまり　a<0　のとき　（窓が頂点より左側）
　　　　最小値bは　b=f(a+1)
(ⅱ)　a≦1<a+1　つまり　0≦a<1　のとき　（窓の中に頂点が見える）
　　　　最小値bは頂点のy座標だから　b=f(1)
(ⅲ)　1≦a　のとき　（窓が頂点より右側）
　　　　最小値bは　b=f(a)

この種類の問題では関連事項として
　　　①　最大値も訊かれる。
　　　②　例題では　二次関数固定でxの値域が変化したが逆に値域固定で
　　　　　二次関数が変化するときがある。
　　　　　　＜例＞　1≦x≦2　での　y=x^2-ax　の最小値を求めよ。

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■17546 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 2次関数の最小

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□投稿者/ 数樂一般人(21回)-(2006/09/22(Fri) 23:42:14)

y=f(x)　とおく。
f(x)=x^2-2x
　　=(x-1)^2-1
f(x)のグラフは、軸が　x=1　で、頂点が　(1，-1)　の放物線。
もし、定義域に制限がなければ、f(x)　は
　（イ）　x<1　の範囲で単調に減少し、
　（ロ）　x=1　のとき最小となって　最小値　f(1)=-1　をとり、
　（ハ）　x>1　の範囲で単調に増加する。

だから、定義域　a≦x≦a+1　が　x=1　を含めばそのとき最小になり、
そうでなければ、定義域の端の点のどちらかで最小になる｡
（定義域が　x=1　を含まなければ、f(x)は単調に増加するか単調に減少するか
　しかないので区間の始めか終わりで最小になることになる。）

例えば
（１）定義域が　-2≦x≦-1　のとき
　定義域は上の（イ）に入っているのでf(x)は単調減少。
　よって、　x=-1　のとき最小で最小値　b=f(-1)=3
また、例えば
（２）定義域が　1/3≦x≦4/3　のとき
　　x=1　を含むので、f(x)　は　x=1　のとき最小で最小値　b=-1
ひつこいですが、例えば
（３）定義域が　2≦x≦3　のとき
定義域は上の（ハ）に入っているのでf(x)は単調増加。
　よって、　x=2　のとき最小で最小値　b=f(2)=0

だから、a　の値によって次のように場合分けすればよい。
（１）　a+1＜1　の場合すなわち　a＜0　の場合
　　　　　この場合は　a≦x≦a+1＜1　ですから定義域に　x=1　は含まれない。
　　　　　xの値の範囲は明らかに上の（イ）に入っているので
　　　　　f(x)は　x=a+1　のとき最小で、最小値　b=f(a+1)
（２）　a≦1　かつ　1＜a+1　の場合すなわち　0≦a＜1　の場合
　　　　　この場合は　定義域に　x=1　が含まれている。
　　　　　よって　x=1　のとき最小で、最小値　b=-1
（３）　1≦a　の場合
　　　　　この場合は　x=1　は定義域　a≦x≦a+1　の左端の点か（a=1のとき）もしくは
　　　　　定義域に含まれない（a>1のとき）。定義域は上の(ロ)または(ハ)に入っている。
　　　　　いずれにしても定義域の左端で最小となるから
　　　　　x=aのとき最小で、最小値　b=f(a)

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■17551 / inTopicNo.7)

　Re[4]: 2次関数の最小

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□投稿者/ miyup 大御所(772回)-(2006/09/23(Sat) 00:41:31)

2006/09/23(Sat) 00:42:01 編集(投稿者)

i) a+1 < 1 ( a < 0 )のとき、b = (a+1-1)^2-1 = a^2-1
ii) a ≦ 1 ≦ a+1 ( 0≦a≦1 )のとき、b = -1
iii) 1 < a のとき、b = (a-1)^2-1

グラフは図の通り（赤の線）

841×841 => 250×250

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