 | ■No17515に返信(うたたねさんの記事)
> x,y,z軸において(a,a,0)(a,-a.0)(a,-a,2a)(ただしa>0とする)を頂点とする
> 三角形をz軸でまわした時の体積を求めよ
z=t,(0≦t≦2a)においてのx-y平面について考える。
0≦t≦aのとき
z軸からの距離L(t)はa≦L(t)≦√2*aとなるので、ｚ軸で回したときに出来る断面積は
(半径√2*aの円)-(半径aの円)=πa^2となる。
a＜t≦2aのとき
z軸からの距離L(t)は√(t^2-2at+2a^2)≦L(t)≦√2*aとなるので、断面積は
(半径√(t^2-2at+2a^2)の円)-(半径aの円)=π(t^2-2at+a^2)となる。
よって求める体積は
∫[0,a]πa^2dt+∫[a,2a]π(t^2-2at+a^2)dt=4/3*πa^3
となります。
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