 | 2006/09/20(Wed) 05:22:49 編集(投稿者)
求める領域はy^2+z^2≦a^2かつz^2+x^2≦a^2かつx^2+y^2≦a^2の体積
z=tとおくと
-√(a^2-t^2)≦x≦√(a^2-t^2),-√(a^2-t^2)≦y≦√(a^2-t^2)‥(i)
かつx^2+y^2≦a^2‥(ii)
ただし、上半面を考え、0≦t≦aとする。
(i)の正方形が(ii)の円の内部に含まれるとき、正方形のみの領域となる。
このとき{√(a^2-t^2)}^2+{√(a^2-t^2)}^2≦a^2
2a^2-2t^2≦a^2、つまり、a/√2≦t≦aとなる。
このtの範囲での体積は、正方形の面積を考えればよいので
∫[a/√2,a]{2√(a^2-t^2)}^2dt=a^3(8/3-5√2/3)
0≦t≦a/√2のとき
(i)がつくる正方形と(ii)の円との8つの交点のうちの一つと原点を結ぶ線分と
x軸かy軸となす角をθ(0≦θ≦π/4)とすると
正方形の一辺の半分の長さはacosθと一致するのでcosθ=√(a^2-t^2)/a
∴sinθ=t/a
∴cosθdθ=1/adt
(i)かつ(ii)の領域の面積はasinθ,acosθを2辺に持つ二つの直角三角形と、
半径a,中心角(π/2-θ)の扇形の和の4倍なので
4{2*1/2*(acosθ)(asinθ)+1/2(π/2-2θ)a^2}
これをθで0〜π/4で積分した値が体積になる。
4∫[0,1/√2]Sdt=∫[0,π/4]Sdθ/dt*dt
=4a^2∫[0,π/4]{cosθsinθ+1/2(π/2-2θ)}acosθdθ=(16/3-7√2/3)a^3
よって、下半面を考慮して
2{a^3(8/3-5√2/3)+a^3(16/3-7√2/3)}=(16-8√2)a^3
|
