 | > なぜ極大値で正で極小値が負にならなければならないのですか？
f(t)の関数はtの三次関数です。
極値を持つ三次関数y=f(t)のグラフをイメージしてください。
極大値が負となると、y=0とy=f(t)の交点はどうしても1個だけになります。
同様に
極小値が正となると、この場合もy=0とy=f(t)の交点は1個だけです。
極大値＝0,あるいは極小値＝0となるとき、y=0とy=f(t)の交点は2個になります。
極大値と極小値の間にx軸があれば、y=0とy=f(t)の交点は3つになるので
極大値が正、極小値が負となればf(t)=0の解の個数は3つになります。
今回の場合、極大値と極小値は、f(0)とf(a)のいずれかなので
場合分けを省略するために、f(0)*f(a)<0としてしまいました。
> あと、(ii)はどのように解くのでしょうか？
(ii)⇔a(4a-1){(a-(3-√10)/2)}{(a-(3+√10)/2}>0
数直線を用いて、a,4a-1,a-(3-√10)/2,a-(3+√10)/2‥☆
の各式が0となる点をプロットしましょう。
小さい順に並べると
(3-√10)/2,0,1/4,(3+√10)/2
☆の各項のうち、0個か2個か4個正となる項がなればよいので、
a<(3-√10)/2では、☆の4つの項は全部負
(3-√10)/2<a<0では、☆のa-(3-√10)/2のみ正、他3つ負なので不適
0<a<1/4では、☆のa-(3-√10)/2とaが正、他2つ負
1/4<a<(3+√10)/2では、☆のa-(3+√10)/2のみ負、他3つ正なので不適
a>(3+√10)/2では、☆の4つの項全て正
したがって、a<(3-√10)/2,0<a<1/4,a>(3+√10)/2が答えです。
簡単に解答する方法として、
数直線上に(3-√10)/2,0,1/4,(3+√10)/2をプロットしたら、
各点から右に矢印をひっぱり、矢印が0個、2個、4個
重なっているところが答えです。(矢印の重なりの数が☆の正となる項の数と一緒)
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