数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 三角関数の合成について / Page: 0]

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■17454 / inTopicNo.1)

　三角関数の合成について

□投稿者/ rc 一般人(1回)-(2006/09/18(Mon) 20:38:27)

次の各々を、A sin(θ+α)の形にまとめてください。ただし、A、αはθによらない定数で、A＞0、-180°＜α＜180°の条件の下でお願いします。答えはわかっているのですが過程がよくわからないので過程を詳しくお願いします。

1)　F(θ)=sin(θ)+cos(θ)
2)　G(θ)=√3sin(θ)-cos(θ)
3) H(θ)=3sin(θ)+4cos(θ)
4) I(θ)=2sin(θ)-5cos(θ)

よろしくおねがいします。　　

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■17455 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角関数の合成について

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□投稿者/ 数樂一般人(16回)-(2006/09/18(Mon) 21:09:09)

(1)　
加法定理より
sin(θ+45ﾟ)＝sinθcos45ﾟ＋cosθsin45ﾟ＝(1/√2）*sinθ＋(1/√2)*cosθ
よって
　　(1/√2）*sinθ＋(1/√2)*cosθ＝sin(θ+45ﾟ)
両辺を√2倍すると
　　F(θ)＝sinθ＋cosθ＝(√2)*sin(θ+45ﾟ)

(2)
cosα＝(√3)/2，sinα＝-1/2　をみたすαは
－180°＜α＜180°の範囲で　α＝-30ﾟ
sin(θ-30ﾟ)＝sinθcos30ﾟ＋cosθsin(-30ﾟ)＝｛(√3)/2｝*sinθ＋(－1/2)*cosθ　
よって
　　｛(√3)/2｝*sinθ＋(－1/2)*cosθ＝sin(θ-30ﾟ)　
両辺を2倍すると
　　G(θ)＝(√3)*sinθ－cosθ＝2*sin(θ-30ﾟ)

これで分るかなあ？

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■17456 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 三角関数の合成について

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□投稿者/ miyup 大御所(757回)-(2006/09/18(Mon) 21:23:07)

2006/09/18(Mon) 21:47:31 編集(投稿者)

教科書には次のようにあると思います。

$2$r=\sqrt{a^2+b^2}$ とおいて

$2$a\sin x+b\cos x=r(\frac{a}{r}\sin x+\frac{b}{r}\cos x)$ …①

ここで、 $2$\frac{a}{r}=\cos \alpha$ , $2$\frac{b}{r}=\sin \alpha$ となる $2$\alpha$ をとると

①＝ $2$r(\sin x\cos \alpha+\cos x\sin \alpha)=r\sin (x+\alpha)$ 。

イメージとしては、 $2$a,b$ を点P $2$(a,b)$ として座標平面上に取ると

$2$r=\sqrt{a^2+b^2}$ で OPの長さを、 $2$\alpha$ でOPとｘ軸とのなす角を表す。

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■17457 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 三角関数の合成について

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□投稿者/ 数樂一般人(17回)-(2006/09/18(Mon) 21:27:05)

一般には
F＝a*sinθ＋b*cosθ　に対して
座標平面上に点Ｐ(a，b)をとり、ＯＰをαの動径とする。
ここで　ＯＰ＝r　とすると、
　　cosα＝a/r　，　sinα＝b/r
よって
　　a＝r*cosα　，　b＝r*sinα
となるから、これより
　　F＝r*cosα*sinθ＋r*sinα*cosθ
　　　＝r*(cosα*sinθ＋sinα*cosθ)　
　　　＝r*(sinθ*cosα＋cosθ*sinα)　
　　　＝r*sin(θ＋α)
よって
------------------------------------------------------------------
F＝a*sinθ＋b*cosθ＝r*sin(θ＋α)　　　　　　　　　　　　　　　（三角関数の合成）
　　　　但し、r＝√(a^2+b^2)　で　cosα＝a/r，sinα＝b/r
------------------------------------------------------------------
従って
(3)
a＝3，b＝4，r＝√(3^2+4^2)＝5　だから
　　H(θ)=3sinθ+4cosθ＝5*sin(θ＋α)　
　　　　但し、cosα＝3/5，sinα＝4/5

4)
a＝2，b＝-5，r＝√(2^2+(-5)^2)＝√29　だから
　　I(θ)=2sin(θ)-5cos(θ)＝(√29)*sin(θ＋α)　
　　　　但し、cosα＝2/(√29)，sinα＝-5/(√29)

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