数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 最大値最小値 / Page: 0]

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■17451 / inTopicNo.1)

　最大値最小値

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□投稿者/ ありす一般人(1回)-(2006/09/18(Mon) 17:15:07)

y=-x2'+4x-3(t≦x≦t+2)の最大値をM最小値をｍとする。M,mとその時のｘの値を出したいんですけど全然分からないんです

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■17452 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 最大値最小値

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□投稿者/ miyup 大御所(756回)-(2006/09/18(Mon) 19:45:37)

■No17451に返信(ありすさんの記事)
> y=-x2'+4x-3(t≦x≦t+2)の最大値をM最小値をｍとする。M,mとその時のｘの値を出したいんですけど全然分からないんです

f(x) = -x^2+4x-3 = -(x-2)^2+1 より放物線の軸は x=2 で上に凸。
区間 t≦x≦t+2 の両端 t および t+2 と軸 x=2 との位置関係で最大値・最小値が決まります。

最大値Mについて
　t+2＜2 のとき M=f(t+2)
　t≦2≦t+2 のとき M=f(2)
　2＜t　のとき M=f(t)
最小値mについて、区間の中央値 t+1 より
　t+1＜2 のとき m=f(t)
　t+1＝2 のとき m=f(t)=f(t+2)[→t=1より m=f(1)=f(3)]
　2＜t+1 のとき m=f(t+2)

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■17458 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 最大値最小値

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□投稿者/ 数樂一般人(18回)-(2006/09/18(Mon) 22:03:15)

y=-x^2+4x-3　(t≦x≦t+2)　でいいのでしょうか？そうだとして・・・
y＝-(x^2-4x)-3
　＝-｛(x-2)^2-4｝-3
　＝-(x-2)^2+4-3
　＝-(x-2)^2+1
軸の方程式がx=2で
定義域の制限を考えないと
　yは　x<2　の範囲で単調に増加し、
　　　　x=2　で最大となり（最大値は1）、
　　　　x>2　の範囲で単調に減少する｡
だから、（細かい説明は面倒なので場合分けの区間の端は両方に含めておきます。）

（イ）定義域　t≦x≦t+2　が軸を含まず軸より左側に外れていれば、すなわち、
　　　t+2≦2　であれば（このとき、t≦0）、その区間でyは単調増加となるから　
　　　y　は　x=t　のとき最小で、x=t+2　のとき最大になる｡

（ロ）定義域　t≦x≦t+2　が軸を含んでいて、
　　　かつ軸が区間の真中　t+1　から右端　t+2　までの間にあれば、すなわち、
　　　t+1≦2≦t+2　であれば（このとき、0≦t≦1）
　　　軸　x=2　のとき最大になり、また、
　　　定義域の左端　t　の方が右端　t+2　より軸　x=2　から遠いので
　　　x=t　のとき最小になると予想できる｡
　　　つまり、y　は　x=t　のとき最小で、x=2　のとき最大になる。

（ハ）定義域　t≦x≦t+2　が軸を含んでいて、
　　　かつ軸が区間の左端　t　から真中　t+1　までの間にあれば、すなわち、
　　　t≦2≦t+1　であれば（このとき、1≦t≦2）
　　　軸　x=2　のとき最大になり、また、
　　　定義域の右端　t+2　の方が左端　t　より軸　x=2　から遠いので
　　　x=t+2　のとき最小になると予想できる｡
　　　つまり、y　は　x=t+2　のとき最小で、x=2　のとき最大になる。

（ニ）定義域　t≦x≦t+2　が軸を含まず軸より右側に外れていれば、すなわち、
　　　2≦t　であれば（このとき、t≧2）、その区間でyは単調減少となるから　
　　　y　は　x=t+2　のとき最小で、x=t　のとき最大になる｡

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