数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 積分の難問? / Page: 0]

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■17340 / inTopicNo.1)

　積分の難問?

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□投稿者/ r@PCLabo 一般人(18回)-(2006/09/13(Wed) 23:32:25)
http://blog.livedoor.jp/r_risd/

∫[0,1]logx sinx dx

問題集をいくつかのぞいてもこういう問題がなかったので、
自分で考えてみたのですが全く歯が立ちません。

不定積分はcalc101.comでもできないようです。

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■17350 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分の難問?

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(592回)-(2006/09/14(Thu) 04:53:32)

2006/09/14(Thu) 04:54:03 編集(投稿者)

■No17340に返信(r@PCLaboさんの記事)
> ∫[0,1]logx sinx dx
不定積分を計算すると $2$Cix-\cos x\log x+C$ となりました。
$2$Cix$ とはcosine integralの略で
$2$\displaystyle \gamma+\log x+\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-x^2)^k}{2k(2k)!}}$ のことです。

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■17376 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 積分の難問?

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□投稿者/ 青海付き人(50回)-(2006/09/15(Fri) 00:23:56)

2006/09/15(Fri) 00:27:40 編集(投稿者)

■No17340に返信(r@PCLaboさんの記事)
> ∫[0,1]logx sinx dx
>
> 問題集をいくつかのぞいてもこういう問題がなかったので、
> 自分で考えてみたのですが全く歯が立ちません。
>
> 不定積分はcalc101.comでもできないようです。

級数展開しないと多分解けないので、問題集を見ても載ってないと思います。

$2$ \displaystyle\int_0^1 {{\log (x)\sin (x)}dx} = \left[ {\log (x)(-\cos (x))} \right]_0^1 + \displaystyle\int_0^1 {{\frac{\cos (x)}{x}}dx}$

$2$ \cos (x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdot\cdot\cdot + (-1)^n\frac{x^{2n}}{2n!} - \cdot\cdot\cdot$

$2$ -\log (0) + \displaystyle\int_0^1 {{\frac{1}{x} - \frac{x}{2!} + \frac{x^3}{4!} - \cdot\cdot\cdot + (-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{2n!} - \cdot\cdot\cdot}dx}$

$2$ -\log (0) + \left[ {\log (x) - \frac{x^2}{22!} + \frac{x^4}{44!} - \cdot\cdot\cdot + (-1)^{n+1}\frac{x^{2n}}{2n2n!} - \cdot\cdot\cdot} \right]_0^1$

$2$ -\log (0) + \log (0) - \frac{1}{22!} + \frac{1}{44!} - \cdot\cdot\cdot + (-1)^{n+1}\frac{1}{2n2n!} - \cdot\cdot\cdot$

$2$ \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{1}{2n2n!}$

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■17380 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 積分の難問?

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□投稿者/ らすかる大御所(438回)-(2006/09/15(Fri) 04:01:52)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp