数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 最小二乗平面 / Page: 0]

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■17336 / inTopicNo.1)

　（削除）

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□投稿者/ -(2006/09/13(Wed) 19:31:40)

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■17373 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 最小二乗平面

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□投稿者/ 青海一般人(49回)-(2006/09/15(Fri) 00:06:41)

2006/09/15(Fri) 20:58:31 編集(投稿者)
2006/09/15(Fri) 20:57:19 編集(投稿者)

平面の式を $2$z = ax + by + c$ とする。

$2$x_k'$ , $2$y_k'$ , $2$z_k'$ を標本データとし、 $2$z_k'$ が $2$d_k$ の誤差を含んでいるとすると、

$2$d_k = z_k' - z = z_k'- (ax_k' + by_k' + c)$

$2$\sum\limits_{k = 1}^n {d_k^2 } = \sum\limits_{k = 1}^n{\left{z_k'- (ax_k' + by_k' + c)\right}}^2$ が最小になるように $2$a$ , $2$b$ , $2$c$ を定める。

$2$\left{z_k'- (ax_k' + by_k' + c)\right}^2 = {z_k'}^2 + a^2{x_k'}^2 + b^2{y_k'}^2 + c^2 - 2ax_k'z_k' - 2by_k'z_k' - 2cz_k' + 2abx_k'y_k' + 2bcy_k' + 2cax_k'$

$2$\sum\limits_{k = 1}^n{x_k'} = X$ , $2$\sum\limits_{k = 1}^n{y_k'} = Y$ , $2$\cdot\cdot\cdot$ とし、
$2$\sum\limits_{k = 1}^n {d_k^2 } = S$ とする。

$2$S = X^2a^2 + Y^2b^2 + nc^2 + 2XYab + 2Ybc + 2Xca - 2XZa - 2YZb - 2Zc + Z^2$

$2$S$ は、 $2$a$ , $2$b$ , $2$c$ についての二次関数なので、極値が最小値となる。それぞれについて偏微分すると、

$2$\frac{dS}{da} = X^2a + XYb + Xc - XZ = 0$ …　①
$2$\frac{dS}{db} = XYa + Y^2b + Yc - YZ = 0$ …　②
$2$\frac{dS}{dc} = Xa + Yb + nc - Z = 0$ …　③

③より、
$2$c = \frac{Z - Xa - Yb}{n}$

$2$\frac{X}{n} = \vec{x}$ (平均値と読み替えてください)より、

$2$c = \vec{z} - \vec{x}a - \vec{y}b$
$2$X = n\vec{x}$ 、 $2$Y = n\vec{y}$ 、 $2$Z = n\vec{z}$ として、
①、②に代入すると、式が出ると思います。

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■17396 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 最小二乗平面

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□投稿者/ 青海付き人(53回)-(2006/09/15(Fri) 21:51:49)

$2$\frac{dS}{da} = X^2a + XYb + Xc - XZ = 0$ …　①
$2$\frac{dS}{db} = XYa + Y^2b + Yc - YZ = 0$ …　②
$2$\frac{dS}{dc} = Xa + Yb + nc - Z = 0$ …　③

$2$c = \vec{z} - \vec{x}a - \vec{y}b$

$2$X = n\vec{x}$ 、 $2$Y = n\vec{y}$ 、 $2$Z = n\vec{z}$
$2$X^2 = n\vec{x^2}$ 、 $2$Y^2 = n\vec{y^2}$ 、 $2$Z^2 = n\vec{z^2}$
$2$XY = n\vec{xy}$ 、 $2$YZ = n\vec{yz}$ 、 $2$XZ = n\vec{xz}$ として、さらに

$2$X^2' = \vec{x^2} - \vec{x}^2$ 、 $2$Y^2' = \vec{y^2} - \vec{y}^2$ （二乗の平均) - (平均の二乗です）

$2$XY' = \vec{xy} - \vec{x}\vec{y}$ 、 $2$XZ' = \vec{xz} - \vec{x}\vec{z}$ 、 $2$YZ' = \vec{yz} - \vec{y}\vec{z}$ とすると、

$2$a = \frac{XZ' \cdot Y^2' - XY' \cdot YZ'}{X^2' \cdot Y^2' - (XY')^2}$

$2$b = \frac{YZ' \cdot X^2' - XY' \cdot XZ'}{X^2' \cdot Y^2' - (XY')^2}$

$2$c = \vec{z} - \vec{x}a - \vec{y}b$

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■17612 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 最小二乗平面

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□投稿者/ ももんが一般人(1回)-(2006/09/26(Tue) 16:50:18)

■No17336に返信(arlandaさんの記事)
横から失礼します。
実装したところ、それらしい平面が算出できました。
どうもです。

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