数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: ベクトル急ぎです / Page: 0]

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■1730 / inTopicNo.1)

　ベクトル急ぎです

□投稿者/ 朋一般人(4回)-(2005/07/06(Wed) 02:47:10)

四面体OABCにおいて、点Pを辺ABの中点､点Qを線分PCの中点、点Rを線分OQの中点とする。直線ARが３点O,B，Cを通る平面と交わる点をSとし、
直線OSと直線BCの交点をTとする。
→OA=→a.→OB=→b,→OC=→cとするとき、次の問いに答えよ。
(1)→OP,→OQ,→ORを→a,→b,→cで表せ。
(2)→AR,→OSを→a,→b,→cで表せ。
(3)BT:CTを求めよ。

自分で解いてみたのですが､(1)から答えがぐちゃぐちゃしています･･･
(2)､(3)はどのように求めればいいのか全くわかりません。
今日までに仕上げなければいけない問題なので急いでおります｡
どなたかわかる方がいらっしゃいましたら教えてください。

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■1731 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ベクトル急ぎです

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□投稿者/ みっちぃ付き人(53回)-(2005/07/06(Wed) 03:10:33)

ベクトルは全てOP~のようにして書きます．ご了承を．

(1) OP~=(OA~+OB~)/2 =(1/2)*a~+(1/2)*b~，OQ~=(OP~+OC~)/2 =(1/4)*a~+(1/4)*b~+(1/2)*c~，OR~=OQ~/2 =(1/8)*a~+(1/8)~*b~+(1/4)*c~．

(2) AR~=OR~-OA~=-(7/8)*a~+(1/8)*b~+(1/4)*c~．
ここで，A,R,Sは，一直線上にあるので，AS~=k*AR~と実数kを用いて書けます．
よって，OS~=OA~+AS~ =a~-(7k/8)*a~ +(k/8)*b~ +(k/4)*c~ ={1- (7k/8)}*a~ +(k/8)*b~ +(k/4)*c~…①と計算できます．

また，Sは平面O,B,C上なので，OS~=s*OB~+t*OC~=s*b~+t*c~のようにa~抜きで書けるので，
①のa~の係数に注目して，1-(7k/8)=0 ⇔ k=8/7
よって，OS~=(1/7)*b~ +(2/7)*c~．

(3) Tは直線BC上にあるので，OT~=p*b~+(1-p)*c~のように，b~とc~の係数の和が1になるように書けます．
一方，O,T,Sは一直線上にあるので，OT~=m*OS~の形で書けます．
ここで，OS~=(3/7)*(b~+2c~)/3 と変形できるので，
OT~=(b~+2c~)/3 とできます．(その結果，OS~=(3/7)*OT~となる)

これは，内分の公式により，『TはBCを2:1に内分している』事を表しているので，BT:TC=2:1．

解き方は以上です．

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■1732 / inTopicNo.3)

　Re[1]: ベクトル急ぎです

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□投稿者/ 朋一般人(5回)-(2005/07/06(Wed) 03:21:03)

おぉ!!(1)の答えはそれでいいのですね。
(1)だけはあっていました＾＾

あぁ･･･これでやっと心置きなく明日学校に行けます(涙)
みっちぃさん分かりやすい解答ありがとうございます｡
これでやっと心置きなく明日学校に行けます。
本当にありがとうございました！

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