 | 2006/09/11(Mon) 23:12:12 編集(投稿者)
■No17279に返信(あやか豚さんの記事)
> 放物線の焦点を通る直線がこの放物線で切り取られてできる線分を考えるとき、それらの中点の軌跡はやはり放物線となる。 ｐ＞０とする。放物線y^2＝４pxとその焦点Ｆ(ｐ,0)からこの方法で得られる放物線の式とその焦点を求めよ。
点F(p,0) p>0 を通り傾き m の直線 y=m(x-p) を考える。放物線と２点で交わるので m≠0 である。
放物線 y^2=4px と直線の交点は、m^2(x-p)^2=4px として m^2x^2-2p(m^2+2)x+m^2p^2=0 を解いて得られる。
このとき解を x=α,βとおくと、解と係数の関係から、α+β=2p(m^2+2)/m^2 である。
放物線と直線の交点は、(α,m(α-p))、(β,m(β-p)) より、その中点(X,Y)は
X=(α+β)/2=p(m^2+2)/m^2、Y={m(α-p)+m(β-p)}/2={m(α+β)-2mp}/2=2p/m
より、m=2p/Y として Xの式に代入
X=…=(2p^2+Y^2)/2p よって、Y^2=2pX-2p^2、 ∴Y^2=4・p/2・(X-p)。
なお、直線が x=p のとき中点はＦと一致するが、Ｆは求めた放物線上の点である
この放物線の焦点は、p/2+p=3p/2 より、(3p/2,0)。
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