 | ■No17273に返信(tukkoさんの記事)
> すべての正の実数x,yに対し
> √x+√y≦k√(2x+y)が成り立つような実数kの最小値を求めよ
> という問題なんですが、解法の目処が立たないで途方に暮れています。
>
> どなたか解き方を教えてください
x>0 なので，示すべき不等式の両辺を √x で割り，t=y/x とおいた
1+√t≦k√(2+t)
という不等式が成り立つような最小の実数 k を求める問題と言い換えることができます。
t は正の実数ならばなんでもとりえますので，f(t)=k√(2+t)-√t-1 が正の実数 t に対し常に 0 以上になるような k の範囲を求めます。
明らかに k＞0 でなければなりませんので，以下その範囲で考えます。
この不等式の両辺は正なので，これは両辺共に2乗して得られる不等式
1+2√t+t≦k^2*t+2k^2
と同値になります。
√t=s とおくと，やはり s も正の実数をくまなく取ります。
よって s に関する2次不等式 (k^2-1)*s^2-2s+2k^2-1≧0 を得ます。
f(s)=(k^2-1)*s^2-2s+2k^2-1 とおくと，k^2-1≦0 のとき，グラフを考えると大きな s の値に対し z は必ず負になりますから，k>1 でなければなりません。
また，このとき f(0)>1>0 であり，z=f(s) のグラフの軸は s 軸の正のところにあることがわかりますので，f(s)=0 の判別式が 0 以下であるような k の範囲を求めることになります。
1-(2k^2-1)(k^2-1)≦0 より，
1≦(2k^2-1)(k^2-1)=2k^4-3k^2+1, よって 2k^4-3k^2≧0.
k^2>0 より 2k^2-3≧0. ゆえに k≧√(3/2) となります。
よって k の最小値は k=√(3/2). このときの不等式の等号は x=1, y=4 のときに成立します。
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