 | ■No17245に返信(バルデラマさんの記事)
> ①x>0のとき、任意のn∈Nに対し
>
> e~x>∑[k=0→n]x~k/k!
>
> が成り立つことを示せ。
ある自然数 n について e^x>∑[k=0→n]x^k/k! が成り立つと仮定すると，
f(x)=e^x-∑[k=0→n+1]x^k/k!
とおくと，f'(x)=e^x-∑[k=0→n]x^k/k!>0，f(0)=0 となることを利用して
数学的帰納法で示しましょう。
もちろん，n=1 のときに相当する e^x>1+x も示さなければなりませんが，
それは g(x)=e^x-(1+x) とおき，g'(x)=e^x-1 で，x>0 ならば e^x>1 であることを利用しましょう。
> ②任意のn∈Nに対し、
>
> lim[x→+∞]x~n/e~X=0
>
> が成り立つことを示せ。
①で示した不等式から，e^x>∑[k=0→n+1]x^k/k! が成り立ちます。
特に x>0 より ∑[k=0→n+1]x^k/k!>x^(n+1)/(n+1)! という不等式も成り立つので，
e^x>x^(n+1)/(n+1)! となります。
これより，0<x^n/e^x<(n+1)!/x. x→0 の極限において (n+1)!/x→0.
はさみうちの原理から x^n/e^x→0 となります。
# これって「完全解答」とゆーものではないのかもしれませんねぇ。
# だとしたらゴメンナサイ。
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