 | ■No17206に返信(黒猫さんの記事)
> わからなかった問題があるので質問させていただきます。
> ２つの２次方程式
> x^2+x+k=0
> x^2+kx+1=0
共通解をx=αとおくと、
α^2+α+k=0‥(i)
α^2+kα+1=0‥(ii)
(i),(ii)の2式を引き算して、α^2を消去
α-kα+k-1=0
⇔(1-k)α-(1-k)=0
⇔(1-k)(α-1)=0
k=1のとき
2つの方程式は一致するので共通解を持つのは明らか。
このときx^2+x+1=0は、判別式D=1^2-4=-3<0より、解を持たないので不適
α=1のとき
(i)か(ii)に代入して
k=-2
このとき2つの方程式は
x^2+x-2=0,⇔(x-1)(x+2)=0
x^2-2x+1=0⇔(x-1)^2=0
よって、共通解α=1となる。
<補足>
与式は
x^2+x+k=0
x^2+kx+1=0
ですが、共通解を持つとしても２つの方程式が一致するとは
かぎりません。
なので、いきなりx^2+x+k=0とx^2+kx+1=0を連立してはいけません。
(xの値が違う可能性がある)
(i),(ii)を連立する前に、共通解のαを定義して、x=αを代入して
始めて、２つの方程式が連立できます。
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