 | 2006/09/06(Wed) 21:06:47 編集(投稿者)
■No17158に返信(鈴さんの記事)
> ①和 1＋2・3＋3・3^2＋4・3^3＋…＋n・3^(n-1)を求めよ。
> ②次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。
> 1，11，111，1111，…
>
① S=1＋2・3＋3・3^2＋4・3^3＋…＋n・3^(n-1) とおくと，
3S=1*3+2*3^2+...+(n-1)*3^(n-1)+n*3^n なので，これを S から引きます。
その際，3 の指数が揃っているところ同士を引き算すると，
S-3S=1+(2*3-1*3)+...+{n-(n-1)}*3^(n-1)-n*3^(n-1)
-2S=1+3+3^2+...+3^(n-1)-n*3^(n-1).
1+3+3^2+...+3^(n-1) の部分は初項 1，公比 3 の等比数列の初項から第 n 項までのわですから，これは求められます。
このような方法でやってみて下さい。
② 1, 1+10, 100+10+1, ... と続いていますので，第 n 項は 10^(n-1)+10^(n-2)+...+10+1 となっています。
和を考えると，1 は n 個，10 は n-1 個，100 は n-2 個，...，10^(n-2) は 2 個，10^(n-1) は 1 個足し合わせることになりますから，
n*1+(n-1)*10+(n-2)*10^2+...+2*10^(n-2)+1*10^(n-1) となります。
和の順序を変えて，
S=1*10^(n-1)+2*10^(n-2)+3*10^(n-3)+...+(n-1)*10+n*1
=10^(n-1){1+2*10^(-1)+...+(n-1)*10^(-(n-2))+n*10^(-(n-1))}
とみると，{ } の中身は①でやったときの 3 が 10^(-1)=1/10 に置き換わったものになっています。ですから，①と同じ考え方で和を求めることができます。
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