 | ■No17147に返信(khoさんの記事)
> 「実数X、Yが|X|+|3Y|≦3を満たすとき（X+1)^2+(Y+2)＾2の最大値と最小値を求めよ。」
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> という問題ですけど、取っ掛かりすら分かりません。どなたかおしえてください。
グラフをもとに考えるのがわかりやすいと思います。
|X|+|3Y|≦3を満たす点 (X,Y) の集まり（領域）が XY 平面でどのような図形になっているのかを考えます。
まず，(X,Y) がこの領域に入っているとき，(-X,Y), (X,-Y), (-X,-Y) もこの領域に入っています。したがってこの領域は X 軸と Y 軸に関して対称です。
ですから，この領域が第一象限でどのような形をしているのかさえわかれば，それを Y 軸に関して折り返し，できた図形を X 軸に関して折り返したものを合わせれば，この領域が得られます。
具体的には，X≧0，Y≧0（通常は第一象限は X＞0, Y＞0 の範囲のことですが，ここでは等号を含めることにします）の範囲で，|X|+|3Y|≦3 をみたす点がどういったものかを考えると，X≧0，Y≧0 より |X|=X，|Y|=Y なので，X+3Y≦3，つまり直線 X+3Y=3 と X 軸，Y 軸で囲まれた図形の周及び内部であることがわかります。
もっとわかりやすく言えば，これは原点，(3,0)，(0,1) を頂点とする三角形の周及び内部に相当します。
よって |X|+|3Y|≦3 で表される領域は，(±3,0)，(0,±1) を頂点とするひし形の周及び内部であることになります。
最大値，最小値を考える関数（X+1)^2+(Y+2)＾2 は，点 (-1,-2) から点 (X,Y) までの距離の2乗です。ですから，(±3,0)，(0,±1) を頂点とするひし形の周及び内部にある点 (X,Y) のうち，(-1,-2) から最も離れた点で最大値を，(-1,-2) に最も近い点で最小値をとります。
図をもとに考察すると，(-1,-2) から最も離れた点は (3,0) です。
また (-1,-2) に最も近い点は点 (-1,-2) から，ひし形の一辺である，(-3,0) と (0,-1) を結んだ直線に下ろした垂線の足であることがわかります。そしてその長さはその直線と点 (-1,-2) の距離として求めることができます。
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