 | ■No17078に返信(DERTYUさんの記事)
> どうにも解けませんのでアドバイスお願いします。
> 関数f(x)=1/(1+tanx)(-Π/4<x<3Π/4)に関して
> （１）このグラフの概形を調べよ
> （２）この曲線と直線ｘ＝Π/４に関して対称な曲線の方程式を調べなさい
> （３）ｆ（ｘ）とｘ軸、ｙ軸によって囲まれる図形の面積を求めよ
(1) 商の微分法より，
f'(x)=-(1+tanx)'/(1+tanx)^2=-(1/(cosx)^2)/(1+tanx)^2=-1/(cosx+sinx)^2<0.
よって f は単調減少。
グラフの凹凸も調べるため，さらに微分すると
f''(x)=2(cosx-sinx)/(cosx+sinx)^2 なので，分母は正なので分子を三角関数の合成で cosx-sinx=√2cos(x-π/4) と変形すれば，x の範囲より分子も正になることがわかります。
(2) 一般に，y=f(x) と x=a に関して対称な曲線の方程式は y=f(2a-x) となります。
実際，曲線 y=f(x) 上の点 (x,f(x)) の x=a に関して対称な点を (p,q) とおくと，は，y 座標は同じで q=y，x 座標については (x+p)/2=a より p=2a-x です。
よって x=2a-p，y=q を y=f(x) に代入すると，q=f(2a-p) を得て，p, q をあらためて x, y などとおけば y=f(2a-x) を得ます。
なお，tan(π/2-x)=1/tanx を用いて式変形して答えてもいいかもしれません。
(3) y=f(x) と x 軸，y 軸によって囲まれる，とありますが，y 軸がなぜここに出てくるのかよくわかりません。どういう図形の面積を求めよというのでしょうか？
曲線 y=f(x)，x 軸とふたつの直線 x=-π/4，x=3π/4 によって囲まれる図形の面積でいいのでしょうか？
(2) を利用します。
t=2a-x と置換することにより，
dx=%5cdisplaystyle%5cint^{a+b}_{a-b}f(x)dx)
という等式が成り立つことが示せます。この問題では，a=π/4，b=π/2 です。
この公式と，f(π/2-x)=tanx/(1+tanx)=1-f(x) を利用すれば簡単に面積が求められます。
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