 | ■No17077に返信(ボーソさんの記事)
> ｘｙ平面上に、２つの円C1;ｘ＾２＋ｙ＾２＝１、C2；（ｘ−２）＾２＋ｙ＾２＝１がある。
> 原点Oに関してC1上の動点Pと対称な点P1
> C2上の動点Qに関してP1と対称な点P2とする
> このとき
> （１）OP2↑をOP↑、OQ↑を用いて表せ
> （２）点P2の存在する範囲を図示せよ
> （３）△PP1P2の面積の最大値とそのときの点P,Qの座標は
> 糸口がつかめません
(1) まず，点 A に関して点 B と対称な点 C について，AC↑=-AB↑ が成り立ちます。
よって，OP1↑=-OP↑，QP2↑=-QP1↑ と表せます。
ゆえに，
OP2↑=OQ↑+QP2↑=OQ↑-QP1↑=OQ↑-(OP1↑-OQ↑)=2OQ↑-OP1↑=2OQ↑+OP↑.
(2) C2 の中心を A(2,0) とおくと，C2 のベクトル方程式は |OQ↑-OA↑|=1 です。
よって，|2OQ↑-2OA↑|=2 なので，2OQ↑で表される点は中心 2OA↑=(4,0)，半径 2 の円上を動きます。
その円の各点に OP↑ が生えており，その終点が P2 なので，P2 は 2OQ↑ を中心とする半径 1 の円を描きます。この円の中心 Q は中心 (4,0)，半径 2 の円上を動きますから，Q を中心とする半径 1 の円もそれにつれて動き，その円の軌跡は (4,0) を中心とする半径 2-1=1 の円と半径 2+1=3 の円で挟まれたリング状の図形を描くことがわかります。
(3) P1，P2 は Q に関して対称なので，P1Q=P2Q が成り立ちます。したがって，
△PP1P2=2△PP1Q が成り立ちます。同様に，P と P1 は O に関して対称なので，OP=OP1 です。よって△PP1Q=2△OPQ が成り立ちます。よって△PP1P2=4△OPQ となり，△OPQ の最大値を求めればよいことがわかります。
図形をもとに考察します。OQ を底辺と見ると，この長さは Q が O から最も遠いとき，すなわち Q(3,0) のときに最大になります。
一方，P から直線 OQ に下ろした垂線の足を H とおくと，PH の長さが △OPQ の高さになり，OP=1 なので PH の長さが最大になるのは OH となるとき，すなわち 角POQ=90度となるときです。
以上のことから，P(±1,0), Q(3,0) のとき△OPQの面積は最大で，3/2 となることがわかります。この値を 4 倍したものが △PP1P2 の最大値です。
|