 | ■No17075に返信(もじこさんの記事)
> 行列A＝{(5,-4)|(2,-1)}(一、二行目）、単位行列Eについて
> （１）任意の自然数ｎに対して、A^(n+1)-A^n=3^n(A-E)が成り立つことを
> 示せ
> （２）A^nの成分を求めよ
> （３）E+A+A^2＋・・＋A^nを求めよ
> 解き方がわかりません。お願いします。
(1) ケーリー・ハミルトンの公式を用いることも出来ますが，この問題では A が具体的に与えられていますので，A^2-A を具体的に求めてしまいましょう。
A^2-A=A(A-E) と変形できることを利用して計算しても，直接 A^2 を計算してから A を引いても，手間はそれほど変わりませんが，とにかく計算した結果，=3(A-E)%20) となります。
あとは数学的帰納法です。) の両辺に A をかけると
=3^n%5ccdot%203(A-E)=3^{n+1}(A-E)) となることを用いましょう。
(2) +(A^{n-2}-A^{n-3})+%5ccdots+(A-E)=(1+3+%5ccdots+3^{n-1})(A-E)) と，等比数列の和の公式を用いれば求まります。
(3) (2) ができればわかると思います。
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